偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他(练：tā)变量恒定（相对于全导数，在其中所（pinyin：suǒ）有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
引入《拼音：rù》：
在xOy平[读：píng]面内(nèi)，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方(fāng)向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习函hán 数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平行于y轴两个【pinyin：gè】特殊方位变动时，f#28x，y#29的变化率。
偏导数的算子符号为【练：wèi】:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率lǜ 。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的某一邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处有增量x时相应地《练：dì》函数有增【练：zēng】量 f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如果{拼音：guǒ}
#29处对x的[pinyin：de]偏导数记为
即澳门金沙（读：jí）
。
同理可定义[繁体：義]函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29处对y的偏导数为
.
即jí
。
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高等数[繁：數]学下册讲稿 第四章 数学分析教研室
如果函数(shù)zf#28x，y#29在区域D内任一点#28x，y#29处对x的偏导数都存在(zài)那么这个偏导数就是x、 y的函数它就称为函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简称偏导数记作
.
同理可【练：kě】以定义函数zf#28x，y#29对自变量y的偏导数记作
.
偏导数的【读：de】概念可以推广到二元以上函数
如uf#28x，y，z#29在(zài)#28x，y，z#29处
2、计算
从偏导数的定义可以看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函(读：hán)数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法(拼音：fǎ)则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
例1求zx23xyy2在点#281，2#29处的{读：de}偏导数
解【练：jiě】法一
.
解法二《读：èr》 z
z x113yy
这里我wǒ 们要知道有时 “先求偏导函数再代值{读：zhí}求某点的【拼音：de】偏导数”不一定简便。如下例
例2 f#28x，y，z#29x
解澳门永利(读：jiě):
.
例lì 3 已知理想气（繁：氣）体的状态方程pVRT R为常(练：cháng)数求证 pVTVpT1 .2
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高等数学下册讲稿 第四章 数学[繁：學]分析教研室
证明míng p
.
有关偏导(繁体：導)数的几点说明
1、 偏导数《繁体：數》
是一个整体记号{练：hào}不能拆分
2、求分界点、不连续点处的偏导[繁体：導]数要用定义求
例lì 如，zf#28x，y#29 xy，求
.
解[pinyin：jiě]
.
例澳门博彩lì 4设f#28x，y#29
#29的偏导[繁：導]数。
解（pinyin：jiě）当#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按定义可[练：kě]知
，
，
故{pinyin：gù}
.
、偏导数存在与(繁体：與)连续的关系
一元函数中在某点可导 函数在该点一定连（繁：連）续但多元《读：yuán》函数中在某点偏导数存在 函数未必连续【繁：續】.
例如《读：rú》
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但函数在该点处并不连[繁：連]续.
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高等数学下册讲《繁体：講》稿 第四章 数学分析教研室
4、偏导数的几何《拼音：hé》意义
设M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是(读：shì)曲面zf#28x，y#29上一点则
偏导数fx#28x澳门金沙0，y0#29就是曲面被平【píng】面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的斜率偏导数fy#28x0，y0#29就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.
二(读：èr)、高阶偏导数
设函数zf#28x，y#29在区域D内的两个偏导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也(拼音：yě)存在则称《繁：稱》它们是函数zf#28x，y#29的二阶偏导数。记作
#29
#29
定义二阶及二阶以《拼音：yǐ》上的偏导数统称为高阶偏导数.
例5设z
.
解
.
例6设ueax cosby求二阶偏导数（繁：數）.
解《jiě》
问题{pinyin：tí}混合偏导数都相等吗
例7设（繁体：設）f#28x，y#29
.
解当(繁：當)#28x，y#29#280，0#29时，
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分[fēn]析教研室
，
当#28x，y#29#280，0#29时按（àn）定义可知
，
，
显然{拼音：rán}fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具备怎样的条件才能使【练：shǐ】混合偏导数相等
定理2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个二阶混合(繁体：閤)偏导数
内连续那末在该区域内这两个二阶混合偏（练：piān）导数必相等
例（pinyin：lì）8验证函数u#28x
.
证明《练：míng》 ln x
，
证(繁体：證)毕.
内容小结:
1.偏导数的定义偏（读：piān）增量比的极限
2.偏导数的《读：de》计算、偏导数的几何意义
3.高阶偏导数纯偏导（繁：導）混合偏导及其相等的条件.
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