球冠体积{繁：積}公式积分推导

利用定积分推导球的体积公式？解答： 在空间直角坐标系中。 球体的方程：x^2 y^2 z^2=r^2 沿着x轴正方向，球体被分成若干个圆，他们以x轴为圆心，半径 R为x的函数R(x)=√r^2-x^2

利用定积分推导球的体积公式？

圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？

圆的周长公式

x² y² = R²

在《zài》 极坐标下，曲线方程为：

ρ = R， θ ∈ (-π， π]

两者结合，就得到 一个笛卡尔直角坐标下(拼音：xià)参数方程（θ ∈ (-π， π]）：

x = R cosθ

y = R sinθ

利用，关于《繁体：於》弧长的曲线积分公式：

令， f(x， y) = 1，就是 计算 曲线 L 的 弧长 的公式{pinyin：shì}。

这里，我们 将C 看kàn 成 从 a = (-R， 0) 点 出（繁体：齣）发 按照逆时针(繁：針)方向 旋转一周 又回到 a 点的曲线，

于是，计算 C 的《练：de》 弧长为：

这个弧长就是[pinyin：shì] C 的周长，这样，我们就得到了，所熟悉的 圆的周长公式：

C = 2πR

令，t = x，则 C" 的参数方{读：fāng}程为（t ∈ [-R， R]）：

x = t

y = √(R²-t²)

同样，利用上面的弧长公式，计算 世界杯C" 的弧《pinyin：hú》长为：

而 C 的周[繁：週]长显然是 C" 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的周长公式：

C = 2C" = 2πR

圆的面积公式

S = {(x， y) | x² y² ≤ R² }

在《读：zài》 平面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为无数的 "小扇形 "，

每个 小扇形 的面积 近似等于 以弧长 Δl = R Δθ 为底 以半径 R 为高的 三角形面积：

ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R²/2) Δθ

这些(读：xiē) ΔS 全部加起来，然后[繁体：後]让 每个 ΔS 尽量小，即， Δθ 取 0 的极限，这样，就得到一个黎曼【màn】积分，

这个结果就是 全部小扇形【pinyin：xíng】 的面积 之【pinyin：zhī】和，即《pinyin：jí》，S 的面积，于是我们得到，圆的面积公式：

S = πR²

反正都是常数，不妨让 f(θ) = (R²/2)，则 S 面积 为 如（rú）下黎曼积分：

将周长公式中zhōng 半径设为变量 ρ 于是得到周长函数：

f(ρ) = 2πρ

这样，每个小圆环的面积 近似的等于，以 周长为高 以 内径为底的矩形面积（想象将小圆环 从 极轴处水平剪（读：jiǎn）开，然后上下拉直，由于(繁：於)圆环很薄因此内外周长（繁：長）几乎相等，构成矩形的左右两个边， 而内径本来就相同，构成矩形的上下两个边）：

ΔSᵢ = f(ξᵢ)Δρᵢ

其中，Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，ξᵢ ∈ [ρᵢ₋₁， ρᵢ]，又令 λ = max{Δρᵢ， i = 1， ...， n} 于【pinyin：yú】是我们又得到一【pinyin：yī】个标准【pinyin：zhǔn】的黎曼积分：

这个结果就是 全部小圆(繁体：圓)环 的面积 之和，即，S 的[读：de]面积，于是我们又得到圆的面积公式：

S = πR²

以半【拼音：bàn】径 ρ 为变量的，面积函数 F(ρ) = πρ² 是 周长函数 f(ρ) = 2πρ 的原函数[繁：數]，并且 有条件 F(0) = 0，使得不定积分常{pinyin：cháng}数 C = 0，即，

绘制成图如[读：rú]下：

反过来，这同样说明：圆的周长函数 f(ρ) = 2πρ 是 面积函数 F(ρ) = πρ² 的导数，所以，我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆《繁体：圓》的周[繁：週]长公[读：gōng]式，即，

C 的这部分的[de]函数为：

y = f(x) = √(R² - x²)

于（繁：於）是直接利用 黎曼积分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S" 的面积 如下：

注意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂(繁体：雜)的不定积分推导过程均省略，有兴趣大家可以自行推导。而根据 对称性，S 的面《繁：麪》积 是 S" 的 4 倍，于（繁体：於）是我们就双得到了圆面积公式：

S = 4S" = 4(πR²/4) = πR²

这里，D 就澳门金沙是 S，L 就是【shì】 C，只要设，

Q(x， y) = x， P(x， y) = 1

于《繁：於》是，格林公式左边为：

这就是 S 的面积。接着（zhe） 利用，两类曲线积分的关系：

结合 上面 C 的 第一个参[拼音：cān]数方程，格林公式右边为：

格林公式左右联立，澳门银河于是我们叒得到圆的面积(繁体：積)公式：

S = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮_C (Pdx Qdy) = πR²

可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面（繁：麪）“，

每一个小扇面的面积，近似等于红色梯形{读：xíng}面积（大三角形减去小三角形）：

Δσᵢ = 1/2 ρᵢ² Δθᵢ - 1/2 (ρᵢ - Δρᵢ)² Δθᵢ = [(ρᵢ ρᵢ₋₁) / 2] Δρᵢ Δθᵢ = ρ"ᵢ Δρᵢ Δθᵢ

其中，Δθᵢ = θᵢ - θᵢ₋₁， Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，令，λ = max{Δσᵢ， i= 1， 2， ...， n = m²}，并取小扇面 的中心点 (ρ"ᵢ， θ"ᵢ) 处 的 二元函数值【zhí】 f(ρ"ᵢcosθ"， ρ"ᵢsinθ")，于(繁体：於)是就得到了 极坐标下的二重积分计算公式：

注意：以上的推导过程，可以 从 圆盘 S 扩展[zhǎn]到 任意 有界封闭区域 D。利用，上面的 二重积分计[繁体：計]算公式，有：

这样，我们就[读：jiù]叕得到了圆的面积公式。

球的表面积公式

x² y² z² = R²

于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B" 对应的二元函hán 数为：

z = f(x， y) = √(R² - x² - y²)

对于 XOY平面 上 的[pinyin：de]任意 中心 为 (x， y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴（垂直于 XOY平面），投影到 B" 上的面积，近似于 投影 到 B" 在 (x， y， f(x， y)) 处【pinyin：chù】 切面 上的面积 Δm ， 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的夹角，则有：

Δm = Δσ / cos r

为（繁：爲）什么呢？因为：Δσ 可以分成 无数个小矩形：

Δσ = ∑ aᵢ × bᵢ

让 aᵢ 边 与 切面 与 XOY平面 交线 平行（xíng），于是 bᵢ 边 就与 交线 垂直，

这样 aᵢ 边 在 切面上的投影仍然是 aᵢ ，bᵢ 边在zài 切面上的de 投影 则是 bᵢ / cos r，于是 每个小矩形 在切面上的投影 面积《繁：積》 为 (aᵢ × bᵢ) /cos r，进而有：

Δm =∑ (aᵢ × bᵢ) / cos r = Δσ / cos r

另外，根据立体几何知识，我们知[zhī]道：

B" 在 (x， y， f(x， y)) 处 的切面（读：miàn） 与 XOY 平面 的夹角 等于 B" 在 (x， y， f(x， y)) 点 切面法线 和 Z 轴[繁体：軸] 的夹角，

又因为，B" 在 (x， y， f(x， y)) 点的 切面法线向量 为[繁体：爲]：

n = (-∂f/∂x， -∂f/∂y， 1)

Z 轴 单位向量【拼音：liàng】 为：

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所以，根据内nèi 积的定义，有：

cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√((∂f/∂x)² (∂f/∂y)² 1)

注意：上面的（de）结论（以及证明过程）适用于，任何《hé》可表示为 函数 z = f(x， y) 形式的 正则曲面，而非仅仅是 B"。对于曲面 B" 来说{pinyin：shuō}，有：

∂f/∂x = -x/√(R - x² - y²) ， ∂f/∂y = -y/√(R - x² - y²)

带入上面得{拼音：dé}到：

cos r = 1/(√ x² / (R² - x² - y²) y² / (R² - x² - y²) 1) = √(R² - x² - y²) / R

于是，曲面B" 面积【繁：積】 的 二重黎曼积分为：

再利用，前面推导出来的 极坐标下二重积分的计(繁：計)算公式，有：

最后，根据对称性 B 的表面积 是 B" 的【练：de】两倍《练：bèi》，于是我们得到 球的表面积{繁体：積}公式：

B = 2B" = 4πR²

和上[shàng]面类似，对于每一个薄片，外圈表面[繁：麪]积 ΔBᵢ 同样是 顶面半径 为 √(R² - x²) 的 圆柱体 圆面 面积 2π√(R² - x²) Δxᵢ 的 1/cos r 倍数，

这里的 r 是[拼音：shì]，曲线 y = f(x) = √(R² - x²) 上 (x， f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹角，也等于[繁体：於] 曲线 在该（繁体：該）点 处 切线法线 n = (-f"， 1) 和 Y轴 单位向量 j = (0， 1) 的夹角。

同样，根据内积公gōng 式有：

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于【pinyin：yú】是，

ΔBᵢ = 2π√(R² - x²) Δxᵢ / cos r = 2πR Δxᵢ

进而，令 λ = max{Δxᵢ， i = 1， ...， n} 使用黎曼《练：màn》积分fēn ，就得到 B 的表biǎo 面积：

球的体积公式

V = {(x， y， z) | x² y² z² ≤ R² }

与上面类似，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片，则每个厚度为 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁ 的薄片的体积 近似等于 半（读：bàn）径为 √(R² - ξᵢ²) （ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁， xᵢ]） 的 同样【yàng】厚度的圆柱体的体积：

ΔVᵢ = π(√(R² - ξᵢ²))² Δxᵢ = π(R² - ξᵢ²) Δxᵢ

接着，令《lìng》 λ = max{Δxᵢ， i = 1， ...， n} ，使{pinyin：shǐ}用 黎曼积分，就得到 V 的{de}体积：

利用，球面坐标下的三重积分计算公（读：gōng）式：

对于，P 点的 球面坐标[拼音：biāo] 定义为：

ρ ∈ [0， R]为[wèi] |OP|，φ ∈[0， π] 为 OP 于 Z 轴夹角，θ ∈[-π， π] 为{pinyin：wèi} OP 在 XOY 平面上的投影 与 X 轴的{拼音：de}夹角，

则（繁体：則），有，

这个公式的推导，和上面 极坐标下二【èr】重重积分计算公式的推导非常类似，有兴趣大家可以自己试一试。对于《繁体：於》 球体 V 的体积，来[繁：來]说：

f(x， y， z) = F(ρ， φ， θ) = 1， ρ(φ， θ) = R

于是，有【pinyin：yǒu】：

例如，f(x) 在 [a， b) 有定义，在 b 点无定义，则 f(x) 在 [a， b] 上[pinyin：shàng]的积分 可以定(dìng)义为：

（由于小石头【pinyin：tóu】数学水平有限，出错在所难（繁体：難）免，欢迎各位[pinyin：wèi]老师和同学批评指正。）

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