偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在世界杯数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有{pinyin：yǒu}用的。
引{练：yǐn}入：
在xOy平《píng》面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的（拼音：de）变化率。
在这里我们只学习《繁体：習》函数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平行（练：xíng）于y轴【zhóu】两个特殊方位变动时，f#28x，y#29的变化率。
偏(练：piān)导数的算子符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐（pinyin：zuò）标轴正方向的变化率。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的某一邻域《拼音：yù》内有定义当《繁体：當》y固定在y0 而x在x0处有增量x时相应地函数《繁：數》有增量 f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如果[练：guǒ]
#29处对x的偏导数记《繁体：記》为
即[拼音：jí]
。
同《繁：衕》理可定义函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29处对y的偏导数为
即【jí】
。
1
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高等数学{pinyin：xué}下册讲稿 第四章 数学分析教研室
如果函数zf#28x，y#29在区域D内任《拼音：rèn》一点#28x，y#29处对x的偏导数shù 都存在那么这个偏导数就是x、 y的函数它就称为函数【pinyin：shù】zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简称偏导数记作
.
同理可以定义函数zf#28x，y#29对自变biàn 量y的偏导数记作
.
偏导数的概念可以推广(繁：廣)到二元以上函数
如u澳门新葡京f#28x，y，z#29在《pinyin：zài》#28x，y，z#29处
2、计算
从偏导数的定义可【拼音：kě】以看出《繁：齣》计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某《读：mǒu》一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
例1求zx23xyy2在点#281，2#29处的偏《pinyin：piān》导数
解{读：jiě}法一
.
解法【拼音：fǎ】二 z
z x113yy
这里我（练：wǒ）们要【pinyin：yào】知道【dào】有时 “先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例
例（lì）2 f#28x，y，z#29x
.
解《读：jiě》:
.
例3 已知理《pinyin：lǐ》想气【pinyin：qì】体的状态方《拼音：fāng》程pVRT R为常数求证 pVTVpT1 .2
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高等数学下册讲(繁体：講)稿 第四章 数学分析教研室
证[繁体：證]明 p
.
有关偏导数的几点说《繁：說》明
1、 偏piān 导数
是一个整[pinyin：zhěng]体记号不能拆分
2、求分界点、不连续点处的偏(pinyin：piān)导数要用定义求
例如，zf#28x，y#29 xy，求《拼音：qiú》
.
解(读：jiě)
.
例【练：lì】4设f#28x，y#29
#29的幸运飞艇偏【读：piān】导数。
解（练：jiě）当#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按定义(繁体：義)可知
，
，
故（练：gù）
.
、偏导(拼音：dǎo)数存在与连续的关系
一元函数中[练：zhōng]在某点可导 函数在该点一定(拼音：dìng)连续但多元函数中在某点偏导数存在 函数未必连续.
例【pinyin：lì】如
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但函数在该点【diǎn】处并不连续.
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研{yán}室
4、偏导数(繁体：數)的几何意义
设M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是曲面zf#28x，y#29上一点则《繁：則》
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面（繁体：麪）yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的斜率偏导数fy#28x0，y0#29就是曲面被平面xx0所[拼音：suǒ]截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.
二、高阶偏[拼音：piān]导数
设函数zf#28x，y#29在区域D内的两个偏导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也存在则称它【pinyin：tā】们是（pinyin：shì）函数zf#28x，y#29的二阶偏导数。记作
#29
#29
定义二阶及二阶以【pinyin：yǐ】上的偏导数统称为高阶偏导数.
例lì 5设z
.
解
.
例6设ueax cosby求二阶（繁：階）偏导数.
解
问题混合（读：hé）偏导数都相等吗
例(pinyin：lì)7设f#28x，y#29
.
解当（读：dāng）#28x，y#29#280，0#29时，
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高等数学下册讲稿 第四章 数[繁体：數]学分析教研室
，
当#28x，y#29#280，0#29时按(pinyin：àn)定义可知
，
，
显然（练：rán）fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具备（繁体：備）怎样的条澳门新葡京件才能使混合偏导数相等
定理2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个二阶混（pinyin：hùn）合偏导数
内连续那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必【拼音：bì】相等
例8验证【pinyin：zhèng】函数u#28x
.
证【练：zhèng】明 ln x
，
证[zhèng]毕.
内容(读：róng)小结:
1.偏导数的定义偏增量比的极限xiàn
2.偏导数的计算、偏导数的[de]几何意义
3.高阶偏导数纯偏导混【hùn】合偏导及其相等的条件.
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