实对称矩阵正定【练：dìng】的充分必要条件

n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为什么是A逆为？实对称阵A正定的充分必要条件是A的特征值都为正。而A^(-1)的特征值都是A的特征值的倒数，所以：A正定A的特征值为正A^(-1)的特征值为正A^(-1)正定

n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充要条件为什么是A逆为？

实对称阵A正定的充分必要条件是A的特征值都为正。而A^(-1)的特征值都是A的特征值的倒数，所以：A正定A的特征值为正A^(-1)的特征值为正A^(-1)正定。

必要性:

adj(A) = A^{-1}/det(A)

因【拼音：yīn】此 adj(A) 正定

充分性【拼音：xìng】的反例:

-1 0 0

0 -1 0

adj(A) = -A

证明：假设实对称阵A是正定阵，

则A的特征值{a澳门新葡京1，a2，..，an}都是【练：shì】正的，

而实对称阵是正交相[读：xiāng]似于对角阵diag(a1，..，an)，

即有澳门博彩正交(读：jiāo)阵P使得

=P"diag(√a1，√a2，...，√an)·diag(√a1，√a2，...，√an)P

记Q=diag(√a1，√a2，...，√an)P，则《繁体：則》

A=Q"Q，即A与单（繁：單）位阵合同

反之若A与单位阵[繁：陣]合同，即存在可逆阵S，使得

设A=S"S。则对任意非零向量{liàng}x，有x"Ax=x"S"Sx=(Sx)"(Sx)>0

∴A是正定的