是不是所有函数都可以求导？要想弄清楚这个问题，就得先弄清楚一个函数在某一点的导数是什么。求一个函数在一点处切线的斜率是导数问题的思想来源之一，如下图所示即，已知函数f#28x#29，并告诉你函数图像上的一点P
是不是所有函数都可以求导？
要想弄清楚这个问题，就得先弄清楚一个函数在某一点的导数是什么。求一个函数在一点处切线的斜率是导数问题的思想来源之一，如下图所示即，已知函数f#28x#29，并告诉你函数图像上的《读：de》一点P，过P点做该曲线的切{qiè}线，问如何求该切线的斜率（练：lǜ）？
我们知道对于一条直线而言，它的斜率定义就是在直线上任取两个点#28x₁，y₁#29，#28x₂，y₂#29，那么斜率就(练：jiù)是#28y₂-y₁#29/#28x₂-x₁#29，但是求曲线的切线斜率则遭【练：zāo】遇到了困难，因为我们只知道一个点P的坐《拼音：zuò》标，而不知道第2个点，因此我们需要采用全新的手段。
我们[繁：們]采用用割线来逼近切线的方法，即，在点P附近的函数图像上取另外直播吧一个点Q，连接PQ两点得到一条直线，这条直线就是函数的一条割线，而现在我们有了两个点，因而割线的斜率是可以求出来的。在点P附近可以找到无数个Q点，因此可以做出无数条割线来，我们让Q向P点的方向移动，那么这条割线也就随之移动，当Q无限接近于P时，割线也就无限接近于切线，如下图所示
因此割线的斜率的极限就是切线的斜率，我们再来明确一下这个计算公式，先在函数图像上把我们需(练：xū)要的《读：de》信息{读：xī}标出来
P点的坐标是#28a，f#28a#29#29，Q点的坐标是#28x，f#28x#29#29，因此割线PQ的斜率就是f#28x#29-f#28a#29除chú 以x-a，再让x无限趋近于a，于是就得到了切线的{pinyin：de}斜率，我们把这个数值称为f#28x#29在这一点的导数，记为f#30"#28a#29，即
同样上面的【拼音：de】过程，我们还可以换一套符号系统，如下图
我们把P和Q两点横坐标的差值记为h，于是按照同样的方法，我们又可以得澳门巴黎人到(读：dào)另外一个式子
上澳门新葡京面两个式子的实质是一样的，称（繁：稱）为函数f#28x#29在x=a处导数的第一定义和第二定义。
由上面的定义可以看出，函数在一点的导数值，实际上就相当于是一个极限值，而我们学极限的时候也已经学过，极限的结果有三种情况：某个常数、正负无穷、不存在。而一条直线的斜率又不能是正负无穷，因此{pinyin：cǐ}当这个极限值算出来[繁体：來]是正负无穷或不存在时，我们也说这一点的导数不存在，即函数在这一点不可导。
我们所能想象出来的函数绝大《读：dà》部分都（练：dōu）是可导的，那么不可导的会有什么样[繁体：樣]的情况呢？
首先最明显的一个例子，如果函(拼音：hán)数在某一点是[pinyin：shì]间断的，那么一定是不可导的《读：de》，证明如下：
我们在学函数的连续性的时候，已经学[繁体：學]世界杯过，函数在一点a处是连续的意思就是满足下面这个三联等式:
于是如果函数在一点是断开《繁：開》的，那么至少有一个等于号不成立，我们不妨设
于(繁：於)是代入到导数计算式中求右极限的式子
可以看出当x无限趋近于a的右侧的《练：de》时（繁：時）候，分母不等于0，而分子等于0。于是他的极限只能是无穷，因而函数在这一点不《读：bù》可导。
其实我们直观的想象一下也可以明白其中的原因，函数如果《读：guǒ》在一点[繁：點]是断开的，那么就无法做切线了，因而肯定是没有导数的。
上面这个结论也【拼音：yě】是高中时我（练：wǒ）们常说的，可导必连续的由来，因为这句话的逆否命题就是不连续一定不可导，二者同真同假。因此又留下一个疑问，如果是连续的，那么是不是一定可导了呢？显然也不是的，我们[繁体：們]有如下几个例子。
例1
我们可以带入到导数的定义式中计算这个算式的左右极限不一样，因而该点的极限不存在，进而导数也就不存在。这个函数的图像如下图所示
从图中我们也可以看到，零点处是一个带尖儿的点，如果想在（练：zài）零这一点做切《练：qiè》线的话，从左边做和从(繁：從)右边做做出来是两条不同的直线，因此该点处没有一条统一的切线，所以也就没有导数了。这种不可导数点，我们称之为尖点。
例2
同样代入到导数的表达式中，我们有从左右两边来看极限都是无穷，因此这一点《繁体：點》也是不【pinyin：bù】可导的。它的函数图像如下图所示
可以看出来，如果过零点做一条切{拼音：qiè}线的话，是一条竖直线，而竖直线是没有斜率的，因此也就没有导数。这种点我们称之为竖直切线点[繁：點]。
上【练：shàng】面(繁体：麪)两个例子是我们可以想象出来的，还《繁：還》有一类例子我们非常难以想象，只能靠计算了。
例3
代入到导数的计算公式中可以得到而这个函数当x趋近于0时是无穷震荡的，因【拼音：yīn】为极限也不存在
，进而不可导，它的图像xiàng 如下图所示：
越接近于【练：澳门银河yú】零点时震荡得就越剧烈。
其实在历史上，人们对连续性与【练：yǔ】可导性的认识经历了相当漫长的过程。一开始当微积(繁：積)分的发明人牛顿提出导数这个概念时，因为当时人们对函数的认识还不是很清晰，认为函数无非就是一条连续的曲线，那么过任何一点都是可以做切线的，于是当时(繁体：時)人们就认为函数在任何一点都是可导的。
但是后来随着人们研究的深入，发现了诸如尖点这样的不可导点，但是依然受限于人们的认识水平，他们认为一条连续的曲线除了个别尖点之外(拼音：wài)，剩下的应该是处处可导的。函数在某个区间上可导则称函数这个区间上是光滑的，也就是说当时人们以为对于任何一[pinyin：yī]个函数，它除了少数见点之外，剩下的大部分应该都是光滑的。这其实也很符合我们现在的认知。
但是在1860年，德国数学家魏尔斯特拉斯（pinyin：sī）却发现了这样一个函数
经过复杂的证明，可以知道这个函数是处处连续的，但是却处处不可导。这个发现震惊了当时数学界，彻底颠覆了人们对导数的认识：原来还存在这样一类函数，它是一条连续的曲线，但是所有点的导数不存在。这一发（繁：發）现又开辟了一个新的研究领域，即处(拼音：chù)处连续但无处可导的函数，从而也大大加深了人《读：rén》们对函数的认识，在一定程度上为分型理论的提出奠定了基础。
威(练：wēi)尔斯特拉斯#28Weierstrass， 1815-1897#29
处处连(繁体：連)续但处处不可导的函数的例子
参（繁体：蔘）考文献
[1]. Calculus， early transcendentals， 7ed，James Stewwart，BROOKS/COLE.
[2]. 无处可微wēi 的连续函数，刘文，辽宁教育出版社.
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