公理化思想的例子初中数学 数《繁体：數》学抽象思想包括？

数学抽象思想包括？数学抽象的思想 ：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。 数学推理的思想 ：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等

数学抽象思想包括？

现代教材怎么表述公理的？

《几何原本》中的公理体系

5条公设shè ：

（1）由任意一点到另外任意{练：yì}一点可以画直线。

（2）一条有限直线可《pinyin：kě》以继续延长。

（3）以任意[读：yì]点为心及任意的距离可以画圆。

（4）凡（读：fán）直角都彼此相等。

（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二èr 直线经无限延长后在这一侧相[读：xiāng]交。（与平行公理等价）

显然第5公设与其他公设不同，它的行文较长，远不是那种不证zhèng 自明的真理。有证据表明，欧几里得本人在《几何原本》第1卷的演绎证明中一直尽力避免应用这一平行公设，在前28个命题的证明过程中，他对其他公设都运用自如，而唯独一直没《繁：沒》有使《练：shǐ》用第5公设。

5开云体育条《繁：條》公理：

（1）等于同量的量彼此《cǐ》相等。

（2）等量加等量，其和《拼音：hé》仍相等。

（3）等量澳门巴黎人减等量，其差仍相(拼音：xiāng)等。

（4）彼此能重合的物体是（练：shì）全等的。

（5）整zhěng 体大于部分。

公设是针对几何的，公理更具一般性，不仅仅针《繁体：針》对几何。长期以来，人们认为公理4幸运飞艇具有几何特征，应归入公设的范围。

初中数学教材中的公理体系

如S.S.S，初中数学教材把它作为基本事实，而《几何原本》把它作为wèi 定理。为了{练：le}证明该定理，欧几里得采用了《繁：瞭》下列方法。

要证明三边对应相等的△ABC和△A′B′C′全等，只需证(繁：證)明两个三角形能完全重合，即只需把某一对应边，例如BC和B′C′重叠（繁体：疊），证明A与A′重合即可。如图1所示，A与A′的情况只有下列4种情况：

（1）A和A′不包含在另一三角《练：jiǎo》形中。

（2）A和A′之一在另[读：lìng]一三角形内部。

（3）A和A′之一在另一三角形边{练：biān}上。

（4）A和【hé】A′重合。

图(繁体：圖)1

对于情《读：qíng》况1，如[读：rú]图2，连结{繁体：結}A 和A′。因为△ABA′是等腰三角形，所以底角相等，即∠BAA′=∠BA′A。

由图2可知{读：zhī}∠CAA′＜∠BAA′＝∠BA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。由（读：yóu）于CA=CA′，

所以∠CAA′=∠CA′A。于是矛盾，因（练：yīn）此情况1不成立。

图(tú)2

对于情[读：qíng]况2，如《拼音：rú》图3，分别延长BA、BA′至D、E。因为BA=BA′，所以∠BAA′=∠BA′A，所以∠DAA′=∠EA′A。

由澳门银河图3可[拼音：kě]知∠CAA′＜∠DAA′＝∠EA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。

由于CA=CA′，所以∠CAA′=∠CA′A。于是矛盾，因此情况《繁：況》2不成立。

图3

对于情[读：qíng]况3，显然不成立。综上，只有情况4成立，即A和A′重合。

在欧[繁：歐]几里得之后约500年（3世纪），一个叫费洛的几何学家通过把两个三角形如图4放置，连结AA′，利用“等边对等角”得出∠BAC=∠BA′C，再利用S.A.S（S.A.S是第1卷（繁：捲）的第4个命题，S.S.S是第1卷的第8个命题）证明△ABC≌△A′B′C′。

图(繁：圖)4

《几何原本》与初中数学教材中的公理体系证明举例

在上述欧几里得证明S.S.S的方法中，他用到“等边对等角”这一等腰三角形的性质。在《几何原本》中，“等边对等角”是第1卷的第5个命题，排在作为第1卷第8个命题的S.S.S的前[pinyin：qián]面，因此，欧几里得用“等边对等角”证明S.S.S是无可厚非的。这与初中数学教材的安排刚好{练：hǎo}相反，初中数学教材cái 是在给出三角形全等的三条判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S后，用三角形全等的判定证明“等边对等角”的（参见华东师大版初中数学教材八年级上册第79页）。

由于在《几(繁体：幾)何原本》中S.A.S是第1卷的第4个命题，而“等边对等角”是第1卷的第5个命题，因[读：yīn]此欧几里得运用S.A.S对“等边[繁体：邊]对等角”给出的证明如下：

已知：如图5，在zài △ABC中，AB=AC。

求证：∠B=∠C。

图(繁体：圖)5

证明思{sī}路：如图6，在BD任取一点F，在AE上截取AG=AF，连结FC、GB。先运用A.S.A证明△AFC≌△AGB，得出∠ABG=∠ACF；再《pinyin：zài》运用A.S.A证明△BCG≌△CBF，得出∠CBG=∠BCF。最后根据“等量减等量其差相等”得(练：dé)出∠ABC=∠ACB。

图(拼音：tú)6

在欧几里得之{练：zhī}后约500年（3世纪），一个叫巴伯斯的{练：de}人仅仅利用图5，通过运用S.A.S证明△ABC≌△ACB，非常简洁地(dì)得出了∠B=∠C。

由于欧几里得的证明复杂、难懂，这一定理以“笨人过不去的桥”著称。之《pinyin：zhī》所以有此说法，一是因为欧几里得的图形有点像座桥；二是因为许多对几何知识了解不深的学生都难于理《拼音：lǐ》解这一定理的证明，也就是无法跨过这座桥，进入《几何原本》的其他部分的学习。

通过《几何原本》和初中数学教材对这一定理的不同证明，我们感受到：如果初中数学教材严格按照《几何原本》的公理体系呈现，对初中学生的学习显然会带来很[练：hěn]大困难。因此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对平[pinyin：píng]面几何内容的处理是适当的，既遵循了数学的发展规律，又遵循了教育和初中生认知发展的规律。

教材中的公理体系编写方式弊端显现

但是近几十年来，特别是19世纪末到20世纪初，数学发展到所谓理性主义阶段，写书强调综合统一、严格化、演绎法在数学中取得支配地位，最后，数学教材只反映演绎而无归纳了，近半个世纪以来，由于公理化的影响，尤其是现代形式主义的影响，公理化主义、纯形式主义反映到数学中来，数学被逐步描述为公理化系统，应该承认，公理化思想是数学发展的一大进步，把数学知识整理成公理化系统，使其更有条理、更严密，是很有必要的，

作为教材，只持形式主义观点固然可以训练人的逻辑思维能力lì 、却难以【pinyin：yǐ】培养学生灵活的创造、发明能力，应该演绎、归纳并重.

已故数学教育家徐利治教授发出，落后3个世纪的数学教材，中国数学的未来究竟在何方的感慨！现在数学教育的教材内容陈旧，教学方法古板，教学观点偏于形式shì 主义和机械，这是从宏观的观(繁：觀)点说[繁体：說]的，国外也如此，许多数学工作者认为，总的说来，现在初中、高中教材基本上是16-17世纪的产物，大学教材是18-19世纪的东西，大学生直到做毕业论文时才接触20世纪的文[读：wén]献，教材编写数十年如一日，没有什么变化.

例如，我国高校现行微积分等教材基本上沿袭20世纪50年代向苏联学习时的那套传统，虽经几次改写，还是三十四年前的东西，只是组织得更有条理、更(pinyin：gèng)严格、更形式化一些而已，但至今我们都没有接触流形的观点，美国近20年来都开设“流形上的微积分”课，国外工程师都会运用这种流形分析工具《练：jù》，其实流形的观点并不困难，而且用流形观点讲微积分反而简化某些概念使其便于应用，我国近几年开始注意这个问题，先后翻译和出版了基本关于流形上[pinyin：shàng]的微积分方面的著作，上述固步自封的局面适应不了当代数学发展的需要[练：yào]，现在数学教育已经到了非革新不可的阶段，

参考文(拼皇冠体育音：wén)献：

李文革，《几何原本》与初中数学（繁体：學）教材中的公理体系

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