全体自然《rán》数之和等于-1/12

如何使用数学证明无理数数量多于有理数？首先，我们要搞清楚 什么是：“无理数数比有理数数多”。为了方便，数学上将有理数集记为 Q，将实数集记为 R。从实数中除去有理数 剩下的就是 无理数，因此 无理数记为 RQ，其中 表示 差集，即，从 R 除去 Q 中元素的 意思：同时，用 |X| 表示 集合 X 中元素个数，例如 若 X = {Tom， and， Jerry}，则 |X| = 3

如何使用数学证明无理数数量多于有理数？

首先，我们要搞清楚 什么是：“无理数数比有理数数多”。

同时，用[练：yòng] |X| 表（繁体：錶）示 集合 X 中元素个数，例如 若 X = {Tom， and， Jerry}，则 |X| = 3。这样以来，题目中：“无理数比有理数多”，可被表述为（繁：爲）：

|RQ| > |Q| ①

可是，我们知道：有理数 和 无理数 的个数都是 无穷多直播吧个，即，|Q| = |RQ| = ∞，那么问题来了：对于两个 无穷大又如何比较大小呢？也就是说，如何 使得 ① 对于无穷集合有（yǒu）意义？

这个问题，最早欧拉(lā)大神就研究过，为此不惜规定自然数之和为 -1/12，但依然并没有找到规律。后来是 康托尔（Cantor）找到了[繁：瞭]解决问题的金钥匙——映射。

映射，记为 f: X → Y ，它描述 从 集合 X 到 集合 Y 的一【yī】种关系，即，

对于 X 中的每《měi》个元素 x 在 Y 中 有且只有一个 元素 y = f(x) 与之对应。②

康托尔 通过 对 映射关系的细分，来《繁体：來》对 ① 进行定义：

• 单的：X 中的不同元素 在 Y 中 对应不同元素；

  

• 满的：Y 中的每个元素 都有 X 中的 至少一个 元素与之对应；

这说明[pinyin：míng]，在统计 Y 中元素个数(繁：數)的过程中，Y 中 每数一个元素 y 都会 有 X 中的 y 对应的 至少 一个 元素 x 跟着计数，而且 根据 ②，不会发生 同一个 x 计数 两次{pinyin：cì}的情况，于是，我们认为： Y 的元素个数 不会大于 X 的元素个数，即，|X| ≥ |Y|；

• 双的：既是 单的 又是 满的；

这时 X 和【hé】 Y 中的（de） 元素 一一对应，因为 |X| ≤ |Y| 并且 |X| ≥ |Y| 所以 |X| = |Y|。

注：高中数学课本上，分别称 单的、满的、双的 映射 为，单射、满射、双射。因为映射对《繁体：對》于 有限集合 和 无限集合 同时有效，于是，用映射给出的 ① 的定dìng 义，对于 有限集合和无限集合 同时有效，这样就绕(繁：繞)开 比较无穷集合大小的的纠结。

有了 映射这个利器《qì》后，虽然 Q 和 RQ 是 无穷集合，但是 只要 找到 它们 之间 的映射，就可以 根据 映射关系的 细分 来判(练：pàn)断 它们 之间的大小关系了。

然后，利用自然数集作为标尺来证明。

集合 X 可数就意味着，存在 双射 f: N → X，使得 X 中元素 和 自然数 的 全体 或 部分 N = {0， 1， 2， ...， n， ...} 一一《pinyin：yī》对应 f: N → X ，于是就 可{pinyin：kě}以 以 N 中自然数（繁：數）为下标 将 X 的元素排成一列：

称 X 可列。反之亦然。这说明，X 可澳门新葡京列 必然 X 可数，X 可数(繁体：數) 必然 X 可列。

先证明（míng）了 Q 可数：

任何 正有理数数 都可 表（繁体：錶）示为 两个正整数 的《de》比值，因此我们可以《pinyin：yǐ》建立下表：

沿着，箭头的路线，将 重复的 正有理数 删(繁：刪)除，则 所有 正【读：zhèng】有理数数 组成一个 序列：

于是可{练：kě}以建立 自然数集 ω 和 有理数集 Q 之间的一一对应关系：

这就证明了(繁体：瞭) |Q| = |ω|，即，Q 可数。

再证明 无理数 RQ 不（拼音：bù）可数：

考虑 (0， 1) 之间的 无理数，将它们写成无限不循环小数。假设 它们 可数，则可列，于是将它们排成一竖列如下：

接着我们将构造一个 新的（拼音：de）无理数：

构造{拼音：zào}过程如下：

• 如果 a₀ 的第1位小数 a₀₁ ≠ 6 则 b 的第1位小数取 b₁ = 6，否则取 b₁ = 9；

• 接着，沿着竖列向下，找到 无理数 aᵢ₁，满足，它的第1位小数 aᵢ₁₁ = b₁。如果 aᵢ₁ 的第2位小数 aᵢ₁₂ ≠ 6 则 b 的第2位小数取 b₂ = 6，否则取 b₂ = 9；

• 接着，沿着竖列向下，找到 无理数 aᵢ₂，满足，它的第2位小数 aᵢ₁₂ = b₂。如果 aᵢ₂ 的第3位小数取 aᵢ₁₃ ≠ 6 则 b 的第3位小数取 b₃ = 6，否则取 b₃ = 9；

• ...

这就证明了 (0， 1) 之间的无理数不可列，进而 全体有理数 RQ 也不可列，于是 RQ 不可[拼音：kě]能 和 ω 一一对应《繁体：應》 ，即，|RQ| ≠ |ω|。

而很容构造《pinyin：zào》映射 f : ω → RQ，如下：

f(n) = n √2

显然 f 是单的《de》，于是有：

|ω| ≤ |RQ|

上面已经幸运飞艇证明了 |RQ| ≠ |ω|，于是得【拼音：dé】到

|RQ| > |ω|

即【pinyin：jí】，RQ 不可数。

综合，由澳门威尼斯人上面《繁体：麪》的证明结果：

• |Q| = |ω|，Q 可数；

• |RQ| > |ω| ，RQ 不可数；

|RQ| > |Q|

即，无理澳门永利数比有《yǒu》理数多。

最后，实际上无理数比有理数多的多。

设，袋子里有十个球，分别标记有 0 到 9 十个数字。每次随机的【读：de】取一个球，记录球上的数字，然【读：rán】后（读：hòu）将球放回；用这个记录的数字 作为 (0， 1) 之间小数的一个小数位。

如果（guǒ），要使得这个小数是有理数，则必须 从 某次取球之后，每次都取到 0 号球（或按[pinyin：àn]照某些固定循环 取球），因为要无限的取下去，所有这种事件的发生概率，为 0，其逆事件，即，小数是无理数，的发生概率是 1。

由此可[拼音：kě]见，通过取球生产的 (0， 1) 之{练：zhī}间小数，该小数是 无理数 是必然事件（概率 P = 1），该小数是 有理数 是 不可能事件（概率 P = 0）。这就说明 无理《读：lǐ》数比有理数多的多。

注：对于有无穷个样本点(繁体：點)的样本空间，不可能事件 也会发生。

事实【shí】上，在《测度论》中，有理数集 Q 就是 零测集，不过这个（读：gè）就【读：jiù】扯远了，这里打住。

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