利用定积分推导球的体积公式？解答： 在空间直角坐标系中。 球体的方程：x^2 y^2 z^2=r^2 沿着x轴正方向，球体被分成若干个圆，他们以x轴为圆心，半径 R为x的函数R(x)=√r^2-x^2
利用定积分推导球的体积公式？
解答： 在空间直角坐标系中。 球体的方程：x^2 y^2 z^2=r^2 沿着x轴正方向，球体被分成若干个圆，他们以x轴为圆心，半径 R为x的函数R(x)=√r^2-x^2 体积V=π∫（√r^2-x^2）^2dx(积分上限为r，下限为-r) =(4/3)r^3圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？
（应邀，小石头尝试着来回答这个问题）圆的周长公式
我们知道在二维几何平面上，对于 以原点为圆心，R为半径的 圆 C，在笛卡尔直角坐标下，曲线方程为：在（读：zài） 极坐标下，曲线方程为：
ρ = R， θ ∈ (-π， π]
两者结合，就得到(拼音：dào) 一个笛卡尔直角坐标下参数方程（θ ∈ (-π， π]）：
x = R cosθ
y = R sinθ
利用，关于弧长的曲线积（繁体：積）分公式：
令， f(x， y) = 1，就是 计算 曲{pinyin：qū}线 L 的 弧长 的公式。
这里，我们 将C 看成 从 a = (-R， 0) 点 出发 按照逆时针方向(xiàng) 旋转一（拼音：yī）周 又回到 a 点的曲线，
于是，计算 C 的 弧长为《繁体：爲》：
这个弧长就是 C 的周长，这样，我们就得到了（繁：瞭），所熟悉的 圆的周长公式：
C = 2πR
考虑，C 位于 X 之上的部分 C"，
令，t = x，则 C" 的参数方《fāng》程为（t ∈ [-R， R]）：
y = √(R²-t²)
同样，利用上面的弧长公式，计《繁：計》算 C" 的弧长为：
而 C 的周长显然是 C" 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的周【练：zhōu】长公式：
C = 2C" = 2πR
圆的面积公式
设，圆 C 的内部圆盘 为：S = {(x， y) | x² y² ≤ R² }
在 平面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为（繁：爲）无数的 "小扇形 "，
每个 小扇形 的(读：de)面积 近似（拼音：shì）等于 以弧长 Δl = R Δθ 为（繁：爲）底 以半径 R 为高的 三角形面积：
这些 ΔS 全部加起来，然后让（繁：讓） 每个（繁体：個） ΔS 尽量小，即， Δθ 取 0 的极限{xiàn}，这样，就得到一个黎曼积分，
这个结果就是 全部小扇(shàn)形 的面积 之和，即，S 的面积，于是我们得到{dào}，圆的面积公式shì ：
S = πR²
上面的结果，告诉我们，其实，在 关于弧长的曲线积分公式 中，令 F(x， y) = (R²/2)，对 圆周 C 进行 弧长积分，就可以得到 圆的面积 S。
反正都是常数，不妨让 f(θ) = (R²/2)，则 S 面积 为 如下黎曼积{繁：積}分：
同样在 平面极坐标下，我们还可以将 S 分成无数的 小圆环，
将周长公式中半径设为变量 ρ 于是得到周长函（练：hán）数：
f(ρ) = 2πρ
这样，每个小圆环的面积 近似的等于，以 周长为高 以 内径为底{pinyin：dǐ}的矩形面积（想象将小圆环 从 极轴处水平剪开，然后上下拉直，由于圆环很薄因此内外周长几乎相等，构成矩形的左右两个边， 而内径[繁体：徑]本（拼音：běn）来就相同，构成矩形的上下两个边）：
ΔSᵢ = f(ξᵢ)Δρᵢ
其中，Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，ξᵢ ∈ [ρᵢ₋₁， ρᵢ]，又令 λ = max{Δρᵢ， i = 1， ...， n} 于是我们又得到一[拼音：yī]个标准的[pinyin：de]黎lí 曼积分：
这个(拼音：gè)结果就是 全部小圆环《繁体：環》 的面积 之和，即，S 的面积，于是我(wǒ)们又得到圆的面积公式：
S = πR²
上面的结果说明一个事实：
以半径 ρ 为变量的，面积函数 F(ρ) = πρ² 是[pinyin：shì] 周长(拼音：zhǎng)函数 f(ρ) = 2πρ 的原函数，并且 有条件 F(0) = 0，使得不定积分常数 C = 0，即，
绘制成图如(rú)下：
反过来，这同样说明：圆的周长函数(繁体：數) f(ρ) = 2πρ 是 面积函数[拼音：shù] F(ρ) = πρ² 的导数，所以，我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式，即，
从 S 的面积公式通过求导得到 C 的周长公式，这要求 求得 S 面积时 不使用 C 的周长公式，可以考虑，平面直角坐标系下， C 在 第Ⅰ象限的部分，
C 的这部分的{读：de}函数为：
y = f(x) = √(R² - x²)
于是直(pinyin：zhí)接利用 黎曼积分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S" 的面积 如下：
注意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂的不{bù}定积分[fēn]推导过程均省略，有(读：yǒu)兴趣大家可以自行推导。而根据 对称性，S 的面积 是 S" 的 4 倍，于是我们就双得到了圆面积公式：
S = 4S" = 4(πR²/4) = πR²
还可以利用，格林公式：
这里[繁：裏]，D 就是 S，L 就是 C，只要设，
Q(x， y) = x， P(x， y) = 1
于是，格【读：澳门新葡京gé】林公式左边为：
这就是 S 的面积。接着 利用，两类曲线积分的关《繁：關》系：
结合 上面 C 的 第一个参数方程，格林公{读：gōng}式右边为：
格林公式左右联立，于是我们叒得到圆的面积公（pinyin：gōng）式：
S = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮_C (Pdx Qdy) = πR²
其实，也可以直接 求 上面的 二重黎曼积分，
另外，在平面极坐标下，考虑 二重黎曼积分 更一般的形式：
可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面（繁：麪）“，
每一《yī》个小扇面的面积，近似等于红色梯形面积（大三角形减去小三角形）：
Δσᵢ = 1/2 ρᵢ² Δθᵢ - 1/2 (ρᵢ - Δρᵢ)² Δθᵢ = [(ρᵢ ρᵢ₋₁) / 2] Δρᵢ Δθᵢ = ρ"ᵢ Δρᵢ Δθᵢ
其中，Δθᵢ = θᵢ - θᵢ₋₁， Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，令，λ = max{Δσᵢ， i= 1， 2， ...， n = m²}，并取小扇面 的中心点 (ρ"ᵢ， θ"ᵢ) 处 的 二元函数值 f(ρ"ᵢcosθ"， ρ"ᵢsinθ")，于是就得【读：dé】到了 极坐标下的二重积分计jì 算公式：
注意：以上的de 推导过程，可以[拼音：yǐ] 从 圆盘 S 扩展到 任意 有界封闭区域 D。利用，上面的 二重积分计算公式，有：
这样，我们就叕[pinyin：zhuó]得到了圆的面积公式。
球的表面积公式
在三维空间中，以 圆点为 球心，以 R 为半径的 球面 B，在笛卡尔直角坐标下，曲面方程为：x² y² z² = R²
于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面[繁体：麪] B" 对应的二元函数为：
z = f(x， y) = √(R² - x² - y²)
对于 XOY平面 上 的任意 中心 为 (x， y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴[繁：軸]（垂直于 XOY平面），投影到 B" 上的de 面积，近似于 投影 到 B" 在 (x， y， f(x， y)) 处 切面 上的面积 Δm ， 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的夹角，则有：
Δm = Δσ / cos r
为什么呢？因为(拼音：wèi)：Δσ 可以分成 无数个小矩形：
Δσ = ∑ aᵢ × bᵢ
让 aᵢ 边 与 切面 与 XOY平面 交线 平{拼音：píng}行，于是 bᵢ 边 就与 交线 垂直，
这样 aᵢ 边 在 切面上的投影仍然是 aᵢ ，bᵢ 边在切面上的《de》投影 则是 bᵢ / cos r，于是 每个小矩形 在切面上的投影《读：yǐng》 面积 为 (aᵢ × bᵢ) /cos r，进（繁：進）而有：
Δm =∑ (aᵢ × bᵢ) / cos r = Δσ / cos r
另外{pinyin：wài}，根据立体几何知识，我们知道：
B" 在 (x， y， f(x， y)) 处（繁体：處） 的切面 与 XOY 平面 的夹角[拼音：jiǎo] 等于 B" 在 (x， y， f(x， y)) 点 切面法线 和 Z 轴【练：zhóu】 的夹角，
又因为，B" 在 (x， y， f(x， y)) 点的 切{练：qiè}面法线向量 为：
n = (-∂f/∂x， -∂f/∂y， 1)
Z 轴 单位向量 为：
k = (0， 0， 1)
所以，根据内积的定义【pinyin：yì】，有：
cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√((∂f/∂x)² (∂f/∂y)² 1)
注意：上面的结论（以及证明过程）适用于，任何可表示为 函数{练：shù} z = f(x， y) 形式的 正则曲面，而非仅jǐn 仅是 B"。对于曲面 B" 来说，有：
∂f/∂x = -x/√(R - x² - y²) ， ∂f/∂y = -y/√(R - x² - y²)
带入上幸运飞艇面得到[dào]：
cos r = 1/(√ x² / (R² - x² - y²) y² / (R² - x² - y²) 1) = √(R² - x² - y²) / R
于是，曲面B" 面积 的 二重黎曼积分为（繁：爲）：
再利《pinyin：lì》用，前面推导出来的 极坐标下二重积分的计算公式，有：
最后，根据对称性xìng B 的表面积[繁：積] 是 B" 的两倍，于是我们得到 球的表面积公式：
B = 2B" = 4πR²
考虑，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 切成 无数 薄片，
和上面类似，对于每一个薄片，外圈表面积 ΔBᵢ 同样是 顶面半径 为 √(R² - x²) 的 圆柱体[繁：體] 圆面 面miàn 积 2π√(R² - x²) Δxᵢ 的 1/cos r 倍数，
这里的 r 是，曲线 y = f(x) = √(R² - x²) 上 (x， f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹角，也(拼音：yě)等于 曲线 在该点 处 切线法线 n = (-f"， 1) 和 Y轴 单位向量 j = (0， 1) 的（读：de）夹角。
同（繁体：衕）样，根据内积公式有：
cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√(f"² 1) = 1 / √((-x/√(R² - x²)) ² 1) = 1 / √(x²/(R² - x²) 1) = √(R² - x²) / R
于[yú]是，
ΔBᵢ = 2π√(R² - x²) Δxᵢ / cos r = 2πR Δxᵢ
进而，令 λ = max{Δxᵢ， i = 1， ...， n} 使用黎曼积[繁体：積]分，就得到 B 的表面积(繁体：積)：
球的体积公式
设，球面 B 内部球体 为：V = {(x， y， z) | x² y² z² ≤ R² }
与上面类似，沿着(练：zhe) X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片，则每个厚度为 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁ 的薄片的体积(繁：積) 近似等于 半径为 √(R² - ξᵢ²) （ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁， xᵢ]） 的de 同样厚度的圆柱体的体积：
ΔVᵢ = π(√(R² - ξᵢ²))² Δxᵢ = π(R² - ξᵢ²) Δxᵢ
接着，令 λ = max{Δxᵢ， i = 1， ...， n} ，使(拼音：shǐ)用 黎曼积分，就得到 V 的（pinyin：de）体积{繁体：積}：
当然我们也可使用三重积分计算球的体积。利用，柱面坐标计算三重积分和上面的方法类似，这里略。
利用，球面坐标下的《练：de》三重积分计算公式：
对于，P 点的 球面坐标 定义为（繁：爲）：
ρ ∈ [0， R]为（繁：爲） |OP|，φ ∈[0， π] 为 OP 于 Z 轴夹角，θ ∈[-π， π] 为 OP 在 XOY 平面上的投影 与 X 轴(繁：軸)的《de》夹角，
则，有yǒu ，
这个公式的推导，和上面 极坐标下二重重积分计算公式的推导非常类似，有兴趣大家可以自己试《繁：試》一试。对于 球体(繁：體) V 的体积，来说：
f(x， y， z) = F(ρ， φ， θ) = 1， ρ(φ， θ) = R
于是，有yǒu ：
最后，大家需要知道，为了不分散注意力，以上所有积分均忽略了 函数 是否在 区域边界处有意义问题！如果，函数在边界无定义，则可以通过 有定义的闭区域 极限逼近 的方法求得，一般来说，最后结果和不考虑其实一样。
例如，f(x) 在 [a， b) 有定义，在 b 点无定义，则 f(x) 在（拼音：zài） [a， b] 上的积分 可以(读：yǐ)定义为：
（当然，用微积分推导 圆或球的相关几何公式，不止以上介绍的这些！小石头这里只是抛砖引玉，欢迎大家讨论！）
（由于小石头（繁体：頭）数学水平有{pinyin：yǒu}限，出错在所难免，欢迎各位老师和同[繁体：衕]学批评指正。）
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