直角三角形斜边中线定理证明【读：míng】

直角三角形斜边上的中线是斜边上的一半，这条定理能逆用吗？直角三角形斜边中线等于斜边的一半这个定理有逆定理：三角形ABC中，BC边上的中线AD等于BC的一半，则角BAC为直角。证明很简单，只要把中线AD延长至E，使DE=AD，联BE、CE根据四边形ABEC的对角线互相平分且相等，立马得出四边形ABEC是矩形

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为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半？

直《拼音：zhí澳门新葡京》角三角形斜边中线等于斜边的一半。

设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。

【证法[fǎ]1】

延长《繁体：長》AD到E，使DE=AD，连接CE。

∵AD是斜边【pinyin：biān】BC的中线，

∴BD=CD，

又∵∠ADB=∠EDC（对顶[繁：頂]角相等），

AD=DE，

∴△ADB≌△EDC（SAS），

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∴AB//CE（内错角相等，两[繁：兩]直线平行）

∴∠BAC ∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补(繁：補)）

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE=90°，

∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，

∴△ABC≌△CEA（SAS）

∴BC=AE，

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

【证法（pinyin：fǎ）2】

取AC的中点E，连《繁：連》接DE。

∵AD是斜xié 边BC的中线，

∴BD=CD=1/2BC，

∵E是AC的中【zhōng】点，

∴D开云体育E是△ABC的中{练：zhōng}位线，

∴DE//AB（三角形的中{pinyin：zhōng}位线平行于底边）

∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同(tóng)位角相等）

∴DE垂（chuí）直平分AC，

∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线[繁：線]段两端距离相等）。

【证法3】

延长AD到E，使（拼音：shǐ）DE=AD，连接BE、CE。

∵AD是斜边（繁：邊）BC的中线，

∴BD=CD，

又[练：yòu]∵AD=DE，

∴四极速赛车/北京赛车边形ABEC是平行四边形（对角线{繁体：線}互相平分的四边形是平行四边形），

∵∠BAC=90°，

∴四边形AB皇冠体育EC是矩形（有一个角是90°的平行四边[繁体：邊]形是矩形），

∴AE=BC（矩形对角（pinyin：jiǎo）线相等），

∵AD=DE=1/2AE，

∴AD=1/2BC。

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