偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学【pinyin：xué】中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中（拼音：zhōng）一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
引入《拼音：rù》：
在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向《繁体：嚮》变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿{练：yán}不同方向的变化率。
在这里我们（繁体：們）只学习函数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平行于y轴两个特【练：tè】殊方位变动时（繁体：時），f#28x，y#29的变化率。
偏导数的算子符号《繁：號》为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐(zuò)标轴正方向的变化率。
偏导数的四则运算法则？
定义(繁：義)2. 1 设函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的某一邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处有增量x时（繁体：時）相应地函数有增量 f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如果【拼音：guǒ】
#29处对x的偏导数（繁：數）记为
即{jí}
。
同理可定(练：dìng)义函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29处对y的偏导数为
.
即【jí】
。
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教《拼音：jiào》研室
如果函数zf#28x，y#29在区域D内任一点#28x，y#29处对x的偏导【练：dǎo】数都存在那么这个偏导数就是x、 y的《de》函数它就称为函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简（繁：簡）称偏导数记作
同理可《拼音：kě》以定义函数zf#28x，y#29对自变量y的偏导数记作
.
偏导数的概念可以yǐ 推广到二元以上函数
如uf#28x，y，z#29在#28x，y，z#29处（繁：處）
2、计(繁：計)算
从偏导数的定[练：dìng]义可以看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元【读：yuán】函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏(pinyin：piān)导数的计算上来。
例1求zx23xyy2在点#281，2#29处的(练：de)偏导数
解（读：jiě）法一
.
解法二【拼音：èr】 z
z x113yy
这里我们要知道有【拼音：yǒu】时 “先求偏导函数再代值求某点的偏导数”不一yī 定简便。如下xià 例
例（练：lì）2 f#28x，y，z#29x
.
解[练：jiě]:
.
例3 已[练：yǐ]知理想气（读：qì）体[繁体：體]的状态方程pVRT R为常数求证 pVTVpT1 .2
2/澳门博彩6页(拼音：yè)
高等数学{pinyin：xué}下册讲稿 第四章 数学分析教研室
证[拼音：zhèng]明 p
.
有关(繁体：關)偏导数的几点说明
1、 偏导数《繁：數》
是(拼音：shì)一个整体记号不能拆分
2、求分【读：fēn】界点、不连续点处的偏导数要用定义求
例如[读：rú]，zf#28x，y#29 xy，求
.
解（jiě）
.
例4设{pinyin：shè}f#28x，y#29
#29的偏导数(shù)。
解{jiě}当#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按定义可（pinyin：kě）知
，
，
故{读：gù}
、偏导数《繁：數》存在与连续的关系
一（读：yī）元【yuán】函数中(读：zhōng)在某点可导 函数在该点一定连续但多元函数中在某点偏导数存在 函数未必连续.
例{pinyin：lì}如
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但函数在该(繁体：該)点处并不连续.
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研室（拼音：shì）
4、偏导数[繁体：數]的几何意义
设M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是shì 曲面zf#28x，y#29上一点则
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面yy0所截得的曲线{繁体：線}在点M 0处的切【拼音：qiè】线M0 Tx对x轴的斜率偏piān 导数fy#28x0，y0#29就是曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.
二、高阶【pinyin：jiē】偏导数
设函数zf#28x，y#29在区域D内的两个偏导数[繁体：數]fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也存在则称它们是函数zf#28x，y#29的二阶偏导数。记《繁体：記》作zuò
#29
#29
定义二阶及二阶以上的偏导《繁：導》数统称为高阶偏导数.
例5设[繁：設]z
.
解jiě
.
例6设ueax cosby求二阶偏导数[繁体：數].
解（读：jiě）
问题混（hùn）合偏导数都相等吗
例7设[繁体：設]f#28x，y#29
.
解当dāng #28x，y#29#280，0#29时，
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研【练：yán】室
，
当#28x，y#29#280，0#29时按[练：àn]定义可知
，
显(繁：顯)然fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具备怎样的条件才能使混合偏导数相【pinyin：xiāng】等
定理2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个二[拼音：èr]阶混合偏导数
内连续那末在该区域内这两个二阶混合偏导（繁体：導）数必相等
例8验《繁：驗》证函数u#28x
.
证明{míng} ln x
，
证毕.
内(繁体：內)容小结:
1.偏导数的定义偏（练：piān）增量比的极限
2.偏导数的计算、偏导数的几何hé 意义
3.高阶偏导数纯偏导混合（繁体：閤）偏导及其相等的条件.
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