数学中什么叫做“张量”？对于数域 K 上的 n 维线性空间 V，当给定一组基 {ε₁， ε₂， ...， ε_n} 后，其中任意一个向量（也叫矢量） α 都对应唯一的坐标系数 #28a₁， a₂， ...
数学中什么叫做“张量”？
对于数域 K 上的 n 维线性空间 V，当给定一组基 {ε₁， ε₂， ...， ε_n} 后，其中任意一个向量（也叫矢量） α 都对应唯一的坐标系数 #28a₁， a₂， ...， a_n#29 使得：又有另外《wài》一(pinyin：yī)个向量liàng β = b₁ε₁ b₂ε₂ ... b_nε_n，将 α 和 β 自然相乘，有：
令，
则有（拼音：yǒu）：
称 ω 为 二阶（秩）张量，在（pinyin：zài） V 确定一组基 {ε₁， ε₂， ...， ε_n}后，对应(繁：應) 一个系数方阵 Z。
当然，这个定义是非常粗糙的《拼音：de》，甚至有如下缺陷：
- 张量 和 向量对 并不一一对应，例如：下面的一组二维向量对
- 如果令 z_{ij} = a_i b_j 则 z_{ij} 会受到限制，例如：对应二维线性空间，有
显[繁体：顯]然
就不满足【zú】上面的比例关系。
因此，考虑脱离乘法而用 #281#29 的形式直接定义张量，但【dàn】是显然不能是任意 n² 个数就可以（练：yǐ）构《繁体：構》成张量的系数矩阵，我们需要找到规律。
我们知道，n 维度线性空间中的向量 α ，其坐（拼音：zuò）标向量 #28a₁， a₂， ...， a_n#29 是（读：shì）依赖于{练：yú}基 {ε₁， ε₂， ...， ε_n} 的，当基变为 {ε₁#30"， ε₂#30"， ...， ε_n#30"} 后就相应的变为 #28a₁#30"， a₂#30"， ...， a_n#30"#29。若已知，{ε₁， ε₂， ...， ε_n} 到 {ε₁#30"， ε₂#30"， ...， ε_n#30"} 过渡矩阵是 T，即：
则，有（拼音：yǒu）：
于是，有【yǒu】：
等式两边左（练：zuǒ）乘 #28Tᵀ#29⁻¹，整理后得到：
以上推导说明：向量 α 的坐标向量 虽然 随着基的不同而变化，但是向量 α 从未改变，是一（pinyin：yī）个不变量（拼音：liàng），即：
并且，不同基下的坐标向量之间满【练：mǎn】足#282#29 。
受此启发，分析：ω 的系数矩阵 Z = #28z_{ij}#29 也是依(练：yī)赖于基 {ε₁， ε₂， ...， ε_n} 的，当基变（繁：變）为 {ε₁#30"， ε₂#30"， ...， ε_n#30"} 后就相应的变为 Z#30" = #28z_{ij}#30"#29，并[繁：並]且有：
于(拼音：yú)是，有：
等式两边左乘 #28Tᵀ#29⁻¹，右乘 T⁻¹，整理《lǐ》后得到：
于是，给出二阶张量的正式定义[繁体：義]：
与 n 维线性空间 V 有关的（读：de）量liàng ω，在线性空间 V 的基变化时(繁体：時)，具有不变性，满足，
并且，不幸运飞艇同基下的de 系数矩阵之间满足 #283#29，则称 ω 为 二阶张量。
依照以上思路我们可以定义三阶张量，这时系数矩阵就已经不够用了，于是我们只能老老实实用多项式表示，为了简化书写引入爱因斯坦和式：
在一项中同时出现两次的上下标 i 称为哑标表示该项是shì 多项相加的缩写，只出现一次的 j 是【pinyin：shì】自由标，禁止多于两次。
新澳门博彩设(繁体：設) V 中向量 γ = c₁ε₁ c₂ε₂ ... c_nε_n 有：
令 ω = αβγ，z_{ijk} = a_ib_jc_k，则有（从这[繁：這]里开始使用爱因斯坦和式）：
ω 就是【练：shì】三阶张量。
设 V 的基从{ε₁， ε₂， ...， ε_n} 变《繁：變》换到 {ε₁#30"， ε₂#30"， ...， ε_n#30"} 的过渡矩阵 T 以及其（练：qí） 转置逆《nì》阵 S 分别为：
则【zé】有：
在《读：zài》新基下，令 ω = z#30"_{ijk}ε#30"_iε#30"_jε#30"_k，于是有：
最终（繁体：終）得到：
于是我们[men]定义：
与 n 维线性空间 V 有[yǒu]关的量{练：liàng} ω，在线性空间【jiān】 V 的基变化时，具有不变性，满足，
并且【qiě】，不同基下分量之间满足 #284#29，则称 ω 为 三阶张量。
继续延续以上思路，可以将张量扩展到任意 p 阶。
对于 和 n 维线性空间 V 相关的[de]量 ω，在 V 的基变化时，具有不变（繁：變）性，满足：
并且，不同基下分(读：fēn)量之间满足：
则称 ω 为（繁体：爲） p 阶张量。
注意(练：yì)到，当 p = 1 时有：
这和向量完全一致，因此 一阶张量 就是 向量，向《繁：嚮》量就是一阶张量。
规定，当（繁：當） p = 0 时为：
即澳门永利， 零阶张量 就是 标[biāo]量。
线性空间 V 上的函数 f: V → K，如果满足线性：
- f#28α β#29 = f#28α#29 f#28β#29；
- f#28kα#29 = kf#28α#29；
- #28f g#29#28α#29 = f#28α#29 g#28α#29；
- #28kf#29#28α#29 = kf#28α#29；
对于[繁：於] V 中给定《pinyin：dìng》的基 {ε₁， ε₂， ...， ε_n} ，如果 V#2A 中的一组函数 {ε¹， ε²， ...， ε^n} 使得：
注：δ_{ij}澳门威尼斯人 称为[繁体：爲] Kronecker 符号。可以证明 满足上式的 ε¹， ε²， ...， ε^n 是 唯一的，并且 是V#2A 的一组基，称 {ε¹， ε²， ...， ε^n} 是 {ε₁， ε₂， ...， ε_n} 的对偶基。
也就是说，对于 V#2A 中的任意线性函数 f ，有yǒu f = a₁ε¹ a₁ε² ... a_nε^n ，这和 V 中向量的性质完全【pinyin：quán】相同（繁体：衕）。
当 V 的[拼音：de]基变为 {ε’₁， ε#30"₂， ...， ε#30"_n} 对偶基变为 {ε#30"¹， ε#30"²， ...， ε#30"^n} ，设， V 和 V#2A 中《读：zhōng》的过渡矩阵 分别《繁：彆》为 T = #28t_{ij}#29 和 S = #28s_{ij}#29，则有：
这说明 S#28Tᵀ#29 = E 于是 S = #28Tᵀ#29⁻¹，S 和 T 互为转置逆阵(繁：陣)。
同时，对于[繁：於]线性函数 f 又有：
于是，得[拼音：dé]到：
由此可见，V#2A 的坐标变换矩阵就是 V 的过渡[dù]矩阵 T。
综上可以得（拼音：dé）出：
考虑，V#2A 的对《繁：對》偶空间 V#2A#2A ，定义映射： ψ: V → V#2A#2A，对于 V 中任意（练：yì）元素 α 对应 V#2A#2A 中(读：zhōng)的唯一元素 ψ#28α#29 : V#2A → K，使得：
可证明 ψ 是线性同构，也就是 V ≌ V#2A#2A，于是《shì》我们将 V#2A#2A 和 V 当做同样的线性空间。这说明 V 和 V#2A 互为对偶（拼音：ǒu）空间，{ε₁， ε₂， ...， ε_n} 和 {ε¹， ε²， ...， ε^n} 互为对偶基。
既然 V#2A 是线性空间，我们可以仿照 V 上定义 p 阶张量，在 V#2A#2A 上定义 q 阶张量：
对于 和 n 维线性空间 V 的对偶空间 V#2A 相（pinyin：xiāng）关的量 ω，在 V 的《pinyin：de》基变化（V#2A 中的对偶基(练：jī)跟着变化）时，具有不变性，满足：
并且，不{pinyin：bù}同对偶基下分量之间满足：
则称 ω 为 q 阶张量。
因为 V#2A#2A 上的 q 阶[拼音：jiē]张量的坐标变换就是 V 过渡矩阵 T 的元素相乘，而 V 上的 p 阶张量的坐标变换时 过渡（读：dù）矩阵 的转置逆阵 S 的元素相乘，因此称 V#2A#2A 上的 q 阶张量，为 q 阶(繁：階)协变张量，称 V 上的 p 阶张量 为 p 阶逆变张量。
最终，将 V#2A 和[拼音：hé] V 混在一起定义混合型张量：
对于 和 n 维线性空间 V 以及 其对偶空间 V#2A 相关的《de》量 ω，在 V 的基变化 以及 V#2A 中的对偶基跟着变[繁体：變]化 时，具有不变性，满足：
并且，不同基(pinyin：jī)和对偶基下分量之间满足：
则称 ω 为 #28p，q#29 型混和张量，p 为逆《练：nì》变阶数，q 为协变阶数。
在基确定的情况下，向量 和 坐标向量 一一对应，我们可以将坐标向量当做向量；同理，在基确定的情况下，#28p， q#29 型混合张量 和 一组数 {z_{i₁i₂...i_pj₁j₂...j_q}} 一一对应，我们可以将 这组数 当做张量。于是有如下张量的第二种定义：
对于 n 维线性空间 V 以及对偶空间 V#2A，对于任意给定 的(pinyin：de)基{读：jī} {ε₁， ε₂， ...， ε_n} 指定【练：dìng】 n^{p q} 个数 :
如果这《繁体：這》组数（读：shù）在基变换时的变换，符合 #285#29 的变化规律，则称这组随着基改变的数，为 #28p， q#29 型混合张量。
这就 G.Ricci 最初引【练：yǐn】入张量概念时所下的定义。
再进一步观察发现，在 V 基给定下，每一个 #28p， q#29 型混合张量，都可以用 基和对偶基的乘积组：
进行线性表示，这说明 所（pinyin：suǒ）有的 #28p， q#29 型混合张量 构成一个线(繁：線)性空间，那么这个《繁体：個》线性空间是什么？
考虑澳门新葡京[繁：慮]：
- 与一阶逆变张量是 V 中的向量类似，一阶协变张量是 V#2A 中的元素，于是 一阶协变张量就是线性函数 f: V → K；
- 一阶逆变张量是 V 中的向量，而 V 就是 V#2A#2A，于是 一阶协变张量就是线性函数 f: V#2A → K；
它就（读：jiù）是
ε_{i₁}ε_{i₂}...ε_{i_p}ε^{j₁}ε^{j₂}...ε^{j_q}
在 L#28V#2A， ...， V#2A， V ， ...， V K#29 中对应的基(pinyin：jī)。
注：多元线性函数的定义和 线{繁体：線}性函数类似。于是，就有了第三种定义张量的方法《读：fǎ》：
称 一个 多元线性函数 V#2A × ... × V#2A × V × ... × V → K （p 个 V#2A， q 个(繁体：個) V）为 #28p， q#29 型混合张量《liàng》。
最后，回到最初，我们知道 两个 向量 α， β 的乘积 是一个二阶逆变张量，而向量就是一阶逆变张量，于是这种乘积就是张量之间的乘积，称为张量积，为了明确用 ⊗ 表示。
对于 V 中任意两向量 α， β 的 都有张量积 α ⊗ β ，令 X 是所有这些 α ⊗ β 组{繁体：組}成的集合。一开始我们提(读：tí)到的 向量 α， β 的乘积的缺陷问题导致 X 不能构成线性空间，但是 X 可以生产一个线性空间，记为 V ⊗ V ，称为 V 和 V 的张量积。
以上是从张量引入了张量积，其实数学上《练：shàng》是脱张量，直接用范《繁体：範》畴的语言定义张量积如下：
对于K 域上的线性《练：xìng》空间 U， V， W ，如果 双线性映射 ψ : U × V → W ， 对于 K 上的（练：de）任意 线性空间 W#30" 以及线性映射 ψ#30" : U × V → W#30" 都存在 唯一的 线性映【pinyin：yìng】射 σ: W → W#30" 使得 ψ#30" = σψ 则称 #28W， ψ#29 为 从 U 到 V 的一个张量。
可以证明 #28W， ψ#29 在线性同【练：tóng】构意义下唯一，于是（拼音：shì）令 U ⊗ V = W， u ⊗ v = ψ#28u， v#29。
于是，就有《拼音：yǒu》了张量的第四种定义：
称 张量积 V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V#2A ⊗ ... ⊗ V#2A （p 个 V， q 个 V#2A）中的元素为 #28p， q#29 型（读：xíng）混合张(繁：張)量。
第一种定义中的(de)
在[pinyin：zài]这里就是
就是说，第四种定义是对（繁体：對）第一种定义的严谨化。
而 L#28V#2A， ...， V#2A， V ， ...， V K#29 恰恰就是 一[练：yī]个 V ⊗ ... ⊗ V ⊗ V#2A ⊗ ... ⊗ V#2A 张量积，于是第四种{繁：種}定义和第三种定义（繁：義）保持一致。
（回答的篇幅已经很长了，所以有些非关键性的证明只能省略。另外，由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家指正。#29
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