有理数是不是代数 无理数加无理数一定是有理数吗[繁：嗎]？

无理数加无理数一定是有理数吗？如果题主问的是如何判断任意无理数的无理数次方是否为有理数或是无理数？那么这个问题是非常困难的，尤其是当这些无理数是超越数的时候，现在依然没有一般性的判断方法#28实际上我们能确定的得还非常少#29

无理数加无理数一定是有理数吗？

1、格尔丰德-施耐德定理：如果 和 是代数数，其中 且 ， 不是有理数，那么 的值一定是超越数。根据该(极速赛车/北京赛车繁：該)定理立刻可以知道： 为超越数， 亦为超越数。这个定理回答了著名的希尔伯特第七问题，以上几个数也是希尔伯特第七问题里提及的几个数。，比如上面提到的 ，它的 次方为： 。

2、林德曼-魏尔斯特拉斯定理：如果 是代数数，在有理数 内线性独立的，那么[繁：麼] 在有理数 内是线性独立的。或者简单的说如果 是不同的代数数，那么 在代数数范围内是线性独立的。这个定理的直接推[tuī]论是： 和 是超越数#28证明略，以后有空再补充#29。补充chōng ：1、证明 为超越数：取 那么 ，即 在代数数范围内是线性独立的，故 为超越数

同理，我们可知，当 为代数数时， 均为超越数。2、证明 为超越数：反证，设 为代数数，那么 亦为代数数，根据上一个证明的结论，那么 为超越数，这与 相{拼音：xiāng}矛盾，故 为超越数。（ 这个例子也说明一个超越数的超越数次方未必就[jiù]是超越数，它(繁体：牠)完全可以是有理数。）

但是更多的，例如 尚未证明是有理数、代数无理数或是超越数。

如果题主感兴趣可以学习一下关于数的无理性，无理测度，超越性方面的更多知识，但个人认为这是一个非常艰深的领域，我们知道的皇冠体育还《繁体：還》太少。

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补充：评论里有人问 是有理数么，现在我们确实还不知道{拼音：dào}，但是我们可以证明 和 中至少有一个是无（繁体：無）理数，证明很简单:

构gòu 造方程 ，显然这个方程的两个根为： ，这个方程即为： 。若 和 均为有理数，那么该二次方程为有理数系数方程，其根必然为代[dài]数数，这与 和 为超越数相矛盾，故 和 中至少有一个是无理数。

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没有想到澳门永利这[繁：這]个回答居然有不少人在看，那我再补充一些内容。

先介绍格尔丰德-施耐德定理的等价表示：如果 和 是代数数，其中 且 ，那么 要么是有理数要么是超越数。现在我们来证明 为超越数。还是反证法，设 为整数，那么 ，因为 与 互素，且 为整数，易知上式等号不能成立，故 不为有理数[繁体：數]，故 为超chāo 越数。

所以在应用格尔丰德-施耐德定理时一定要注意，要保证 是超越数（是代数数，且 且 ）， 只能是代数澳门永利无理数，若 为超越【yuè】数，则 不一定是超越数，它完全可以是有理数。

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