现代双语的数学是什么教材 新概念是英语学习经典教材，那什么书才是数学学习的经典教[jiào]材？

新概念是英语学习经典教材，那什么书才是数学学习的经典教材？川大版的高等数学。现代教材怎么表述公理的？欧几里得的《几何原本》大约成书于公元前三世纪左右，它是用公理建立起演绎体系的最早典范。两千多年来，它一直是人们学习演绎推理的权威教材

新概念是英语学习经典教材，那什么书才是数学学习的经典教材？

现代教材怎么表述公理的？

《几何原本》中的公理体系

5条公《练：gōng》设：

（1）由任意一点到另外任意一点可以画直【练：zhí】线。

（2）一yī 条有限直线可以继续延长。

（3）以任[拼音：rèn]意点为心及任意的距离可以画圆。

（4）凡直角都彼此相《练：xiāng》等。

（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直澳门永利线经无限延[yán]长后在这一侧相交。（与平行公理等价）

显然第5公设与其他《tā》公设不同，它的行文较长，远不是那种不证自明的真理。有证据表明，欧几里得本人在《几何原本》第1卷的演绎证明中一直尽力避免应用这一平行公设，在前28个命题的证明过guò 程中，他对其他公设都(pinyin：dōu)运用自如，而唯独一直没有使用第5公设。

5条公（练：gōng）理：

（1）等于同量的量彼(读：bǐ)此相等。

（2）等量加等量，其和仍(pinyin：réng)相等。

（3）等量[liàng]减等量，其差仍相等。

（4）彼此能重合的物体是全等的。

（5）整体大于部《bù》分。

公设是针对几何的，公理更具一般性，不仅（繁体：僅）仅针对几何。长期以来，人们[繁体：們]认为公理4具有几何特征，应归入公设的范围。

初中数学教材中的公理体系

如S.S.S，初中数学教材把它作为基（读：jī）本事实，而《几何原本》把它作为定理。为了证明该定理，欧几里得采（繁体：採）用了《繁：瞭》下列方法。

要证明三边对应相等的△ABC和△A′B′C′全等，只需证明两(繁：兩)个三角形能完全重合，即只需把某一对应边，例如BC和B′C′重叠，证明A与A′重合即可。如图1所示，A与A′的情（读：qíng）况只有下列4种情况：

（1）A和A′不包含在另一三角形中[练：zhōng]。

（2）A和A′之一在《pinyin：zài》另一三角形内部。

（3）A和A′之一在另一三角形边上《读：shàng》。

（4）A和A′重（读：zhòng）合。

图1

对于情qíng 况1，如图2，连结A 和A世界杯′。因为△ABA′是等腰三角形，所以底角相等，即∠BAA′=∠BA′A。

由图【tú】2可（练：kě）知(pinyin：zhī)∠CAA′＜∠BAA′＝∠BA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。由于CA=CA′，

所以∠CAA′=∠CA′A。于是(练：shì)矛盾，因此情况1不成立。

图(繁：圖)2

对于[繁体：於]情况2，如图3，分别《繁体：彆》延长BA、BA′至D、E。因为BA=BA′，所以∠BAA′=∠BA′A，所以∠DAA′=∠EA′A。

由图3可知{练：zhī}∠CAA′＜∠DAA′＝∠EA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。

由于CA=CA′，所以∠CAA′=∠CA′A。于是矛盾，因此情况2不（读：bù）成立。

图3

对于情况3，显然不成立。综上【读：澳门永利shàng】，只有情况4成立，即A和A′重合。

在欧几里得之后约500年（3世纪），一个叫费fèi 洛的几何学家通过把两个三角形如图4放置，连结AA′，利用“等边对等角”得出【pinyin：chū】∠BAC=∠BA′C，再利用S.A.S（S.A.S是第1卷的第4个命题，S.S.S是第1卷的第8个命题）证明△ABC≌△A′B′C′。

图4

《几何原本》与初中数学教材中的公理体系证明举例

在上述欧几里得证明S.S.S的方法中，他用到“等边对等角”这一等腰三角形的性质。在《几何（拼音：hé）原本》中，“等边对等角”是第1卷的第5个命题，排在作为第1卷第8个命题的S.S.S的前面《繁体：麪》，因此，欧几里得用“等边对等角”证明S.S.S是无可厚非的。这与初中数学教材的安排刚【练：gāng】好相反，初中数学教材是在给出三角（读：jiǎo）形全等的三条判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S后，用三角形全等的判定证明“等边对等角”的（参见华东师大版初中数学教材八年级上册第79页）。

由于在《几[拼音：jǐ]何原本》中S.A.S是第1卷的第4个命题，而“等边对等角”是第1卷的第5个命题，因此欧几里（繁体：裏）得运用S.A.S对“等边对【duì】等角”给出的证明如下：

已知：如图[拼音：tú]5，在△ABC中，AB=AC。

求证[zhèng]：∠B=∠C。

图澳门新葡京[繁体：圖]5

证明思路：如图6，在BD任取一点F，在AE上截取AG=AF，连结FC、GB。先《xiān》运用（yòng）A.S.A证明△AFC≌△AGB，得出∠ABG=∠ACF；再运用A.S.A证明△BCG≌△CBF，得出∠CBG=∠BCF。最后根据“等量减等量（练：liàng）其差相等”得出∠ABC=∠ACB。

图6

在欧几里得之后约500年（3世纪），一个(繁：個)叫巴伯斯的人仅仅利《拼音：lì》用图5，通过运用S.A.S证明△ABC≌△ACB，非常简洁地得出了∠B=∠C。

由于欧几里得的证明复杂、难懂，这一定理[lǐ]以“笨人过不去的桥”著称。之所以有此说法，一是{练：shì}因为欧几里得的图形有点像座桥；二是因为许多对《繁：對》几何知识了解不深的学生都难于理解这一定理的证明，也就是无法跨过这座桥，进入《几何原本》的其他部分的学习。

通过（繁体：過）《几何原本》和初中数学教材对这一定理的不同证明，我们感受到：如果初中数学教材严格按世界杯照《几何原本》的公理体系呈现，对初中学生的学习显然会带来很大困难。因此，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对平面几何内容的处理是适当的，既遵循了数学的发展规律，又遵循了教育和初中生认知发展的规律。

教材中的公理体系编写方式弊端显现

但是近几十年来，特别是19世纪末到20世纪初，数学发展到所谓理性主义阶段，写书强调综合统一、严格化、演绎法在数学中取得支配地位《练：wèi》，最后，数学（读：xué）教材只反映演绎而无归纳了，近半个世纪以来，由于公理化的影响，尤其是现代形式主义《繁体：義》的影响，公理化主义、纯形式主义反映到数学中来，数学被逐步描(读：miáo)述为公理化系统，应该承认，公理化思想是数学发展的一大进步，把数学知识整理成公理化系统，使其更有条理、更严密，是很有必要的，

作为教材，只持形式主[zhǔ]义观点固（pinyin：gù）然可以训练人的逻辑思维能力、却难以培养学生灵活的创造、发明能力，应该演绎、归[繁体：歸]纳并重.

已故数学教育家徐利治教授发出，落后3个世纪的数学教材，中国数学的未来究竟在何方的感慨！现在数学教育的教材内容陈旧，教学方法古板，教学观点偏于形式主义和机械，这是从宏观的观点说的，国外也如此，许多《duō》数学工作者认(繁体：認)为，总的说来，现在初中（读：zhōng）、高中教材基本上是16-17世纪的产物，大学教材是18-19世纪的东西，大学生直到做毕业论文时才接触20世纪的文献，教材（拼音：cái）编写数十年如一日，没有什么变化.

例如，我国高校现行微积分等教材基本上沿袭20世纪50年代向苏联学习时的那套传统，虽经几次改写，还是三十四年前的东西，只是组织得更有条理、更严格、更形式化一些而已，但至今我们都没有接触流形的观点，美国近20年来都开设“流形上的微积分”课，国外工程师都会运用这种流形分析工具，其实流形的观点并不困(繁：睏)难，而且用流形观点讲(繁：講)微积分反而简化某些概念使其便于应用，我国近几[繁：幾]年开始注意这个问题，先后翻译和出版了基本关于流形上的微积分方面的著作，上述固步自封的局面适应不了当代数学发展的需要，现在数学教育已经到（pinyin：dào）了非革新不可的阶段，

参考文献[拼音：xiàn]：

李文革，《几何原本》与初中数学【xué】教材中的公理体系

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