可微可{kě}以推可导吗

为什么可微必可导？可导不一定可微？大一高数？一元函数是一个充要条件，但在多元函数中，可微性是可以导出的，可微性只有在函数连续时才能导出，我记得高等数学书中一定有这个专栏。如果你找不到，请问高等数学老师，他很乐意回答

为什么可微必可导？可导不一定可微？大一高数？

但在多元函数中，可澳门博彩微性xìng 是可以导出的，可微性只有在函数连续时才能导出，

我记得高等数（读：shù）学书中一定有这个专栏。如果你找不到《练：dào》，请问《繁体：問》高等数学老师，他很乐意回答。

函数在一点可导与可微是一回事吗？

因此，它有两个等价的定义(繁：義)：

如果右边幸运飞艇的极限边的公式存在zài ，然后导数存在，然后函数存在这一点就可以导出。

可微性的定义比上述公式复杂得多。它需要用到高【练：gāo】阶无穷小的概念：

可以看出，可微性和可微《拼音：wēi》性的定义有很大的不同，所以它们是两个(繁：個)完全不同的概念。不要把它们混在一起。

为了进一步厘清两者的区《繁体：區》别，我们需要深入理解可微性的概[拼音：gài]念。许多人对上述公式感到困惑，因为他们不理解其背《繁：揹》后的几何意义。让我们详细介绍一下。

微积分的发明源于牛顿关于如何求变速运动的瞬时速度的思想。他采纳了限制的思想《拼音：xiǎng》。当然，这个想法不是牛顿提出的。古希腊伟大的数学家和物理学家阿基米德【pinyin：dé】也采用了类似的《pinyin：de》方法。

那时，他在zài 想如何找到《练：dào》一个圆的面积。现在我们知道他用内接正多边形逼近圆。边数越多，面积越接近圆的面积。当边数无穷大时，即求(pinyin：qiú)边数的极限，就可以得到一个圆的整个面积

这是中国古代数学家祖崇之用类似的方法计算圆的。这种方法包含了一个深刻的思想，即在很{hěn}小的澳门新葡京范围内，一条曲线约等于一条直线：

然后我们用这个思想定义一个函数在某一点的可微性，见下图《繁体：圖》

我们研究函数（读：shù）在x=a的行为。首先，根据刚才的思想，让我们做一条直线在点x=A附fù 近画一条直线，使其尽可能靠[拼音：kào]近曲线。注意！我不想在这里做切线。我不知道该画什么样的直线

所以我（wǒ）们想知道当它的斜率被取下来时，它能有多近。

然后我们需要分析所谓的“尽可能接近”。把这条直线的斜率记为a，来研究x=aΔx处的函数。这一点的函数（读：shù）值是f（aΔx），那么它和x=a处的函数值之差(pinyin：chà)是f（aΔx）-f（a），即图中所示的Δy。同时，我们用dy来表示这一点上的值和x=a处的值之间的差

让我们来计算dy等于什么。我们知道计算斜率的公式是（Yк-Y₁）/（xк-x₁）。如图所示，它实际上是[shì]dy/ΔX。这里我们需（练：xū）要注意的是ΔX是DX，我们把直线的斜率设为a，所以dy等于aΔX

当我们知道Δy和dy时，“尽可能接近”意味着Δy和dy之间的差值，即误差Δy-d澳门威尼斯人y，尽可能小。根据我们刚才[繁体：纔]给出的公式，Δy-dy等于f（aΔx）-f（a）-aΔx，这是可微公式定义的分子部分。

问题又来了，什么叫误差越小越好？从图中可以看出，无论直线的斜率是多少，Δx越小，误差就越小。这样就分不清不同的线了，所以要加强一点条件。我们不仅要求误差越来越小，而且要求误差是关于ΔX的一个高阶无穷小，如果我们能找到一个合适的a来满足这一点，那么我们就说这条线是最接近它的。我们学习了高等数学中【pinyin：zhōng】高阶jiē 无穷小的定义，即二者之比

当Δx接近0时，极限澳门永利也为0。所以[yǐ]我写了刚才提到的可微性定义的表达式。

我想如果我们理解了这个原理，我们就能理解(读：jiě)可微性的真正（zhèng）内涵，我们就能清楚地认识到可微性和（练：hé）可微性是两个完全不同的概念。

可微性和可微性之间的关系是什么？如果f（x）在x=a是可微的，则可以推导出它在a是可微的；反之，如果f（x）在这一点是可微的，则可以推导出它在这一点是可微的。让我们来证明这两个结论。

这是我们对可微性的定义，因此我们可以{练：yǐ}推断函数在这一点上是可微的。

相反，从以上两个定理可以（拼音：yǐ）看出，可微性和可微性是密切相关的。它们不仅相互等价，而且可微性中的导数实际上等价于可微性定义中的a。这就是为什么人们常（读：cháng）说两者是同一件事，但实际上，从严格的数学观点来看，两者是完全不同的。

当然，以上是（拼音：shì）针对单（读：dān）变量函数的情况；对于多变量函数，z=f（x，y），结论是不同的，可微与可微甚至不等价jià 。

对于多元函数，我们以二【练：èr】元函数z=f（x，y）为例来研究它在（a，b）的情况。因为平面上有很多方向，我们需要研究它的偏导数，对X的偏导数和对y的偏导数，对X的偏导数的定义是《pinyin：shì》把y的值固定为B，它《繁体：牠》的严格数学定义是

它的几何解释是在y=a处做一个曲面的横截面，截面是一（pinyin：yī）条曲线，X处切线的（de）斜率等于a，如下图所示

y在这【zhè】一点的偏导数是

它的几何解释是曲[繁体：麴]线在x=a和y=B处的切线段的切斜率，如下图所示

同样，我们可以定义函（pinyin：hán）数在（a，B）处的可微性。我们还使用了“把曲线变成直线”的思想。二元函数的图像是一个曲面，所以这里我们用平面代替曲面，即通过f（a，b）使平面尽可能靠近曲面。关于一（练：yī）元函数的情况，我[wǒ]们可以画下图

我们的目标是使函数值和平面上的值之间的误差成为关于自变量变化的无穷小量。将自变量的变化分为两部分，X的变化为ΔX，Y的变化为ΔY，利用勾股定理可以求出新旧两点之间的距离，即重新求出两个直角边《繁：邊》的平方和。遵循同样的原理，我们可以写出一点可微函数的定义[繁：義]：

我们[men]可以看到多元[练：yuán]函数中一点可微和一点可【kě】微的区别是明显的，甚至更明显。

它们甚至不相等。我们得出以下结论。首先，如果它是可微的，那么就必须存在两个偏导数，这是确(繁：確)定的（读：de）。

所以我们有一个类似的结论，不仅《繁：僅》存《练：cún》在两个可微函数的偏导数，而且定义（繁体：義）中X的偏导数是a，Y的偏导数是B。

但是这zhè 个结论不一定是真的：即《拼音：jí》使存在两个偏导数，那么在这一点上它也可能是不可微【pinyin：wēi】的。下面是一个例子。

因（读：yīn）此，在多元函数中，可微性和可微性是不等价的，这{练：zhè}告诉我们更需要区分可微性和可微性。但是我们有一个定（拼音：dìng）理：

这个条件只是函数在某一点可微的一个充分条件，而且它的证明过程比较复杂，所以我们需要用到拉格朗日中zhōng 值定理。如《rú》果你感兴趣，可(pinyin：kě)以参考相关的教科书。

到目前为止，我们已经基本弄清了可微性（练：xìng）和可微性的关系，但是数学家们会研究更复杂的函数向量函数[拼音：shù]，他们的可微性和可微性形式也更复杂，但是他们思想的核心是一样的。

所谓向量函数，通俗的讲就是自变量和因变量都是向量函数。通《练：tōng》常，它将n维向量映射为m维向量。一yī 般表达式如[拼音：rú]下：

有时为了形式[练：shì]美，我们把向量垂直写：

可以理解为平（拼音：píng）面上的一个位置，Y代表一个[gè]向量。因此，二维到二维的向量函数可以理解为给平{练：píng}面上的每个点一个向量，如下图所示

]这里有三个二维到二维向量函数的例子。类似地，三维到三维的向量函数相当于《繁：於》给空间中的每一点一个三维向（读：xiàng）量，如(读：rú)下面的例子

上述两个向量(pinyin：liàng)函数分别称为二维向量场和三维向量场。矢量场[繁体：場]是物理学中一种重要的研究工具。力场，磁铁

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