球冠体积公式积分《练：fēn》推导

利用定积分推导球的体积公式？解答： 在空间直角坐标系中。 球体的方程：x^2 y^2 z^2=r^2 沿着x轴正方向，球体被分成若干个圆，他们以x轴为圆心，半径 R为x的函数R(x)=√r^2-x^2

利用定积分推导球的体积公式？

圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？

圆的周长公式

x² y² = R²

在 极坐标(繁：標)下，曲线方程为：

ρ = R， θ ∈ (-π， π]

两者结合，就得到 一个笛卡尔(ěr)直角坐标下参数方程（θ ∈ (-π， π]）：

x = R cosθ

y = R sinθ

利(拼音：lì)用，关于弧长的曲线积分公式：

令， f(x， y) = 1，就是 计算 曲线 L 的 弧（pinyin：hú）长 的公式。

这[繁：這]里，我们 将C 看成 从 a = (-R， 0) 点 出发 按《读：àn》照逆时针方向 旋转一周 又回到 a 点（繁：點）的曲线，

于是，计（读：jì）算 C 的 弧长为：

这个弧{pinyin：hú}长就是 C 的周长，这样，我们就得到了，所熟悉的 圆的周长公式：

C = 2πR

令，t = x，则(繁体：則) C" 的参数方程为（t ∈ [-R， R]）：

x = t

y = √(R²-t²)

同样，利用上《pinyin：shàng》面的弧长公式，计算 C" 的弧长为：

而 C 的周长显然是 C" 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的[练：de]周长公式：

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圆的面积公式

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在 平píng 面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为无数的 "小扇形 "，

每个 小扇形 的面【miàn】积 近似[拼音：shì]等于 以弧长 Δl = R Δθ 为《繁体：爲》底 以半径 R 为高的 三角形面积：

ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R²/2) Δθ

这些 ΔS 全部加起来[繁体：來]，然后让 每个 ΔS 尽量小[读：xiǎo]，即， Δθ 取 0 的极限[xiàn]，这样，就得到一个黎曼积分，

这个结果就是 全部小扇（读：shàn）形 的面积 之和，即，S 的{pinyin：de}面积，于是我们得到，圆的面积公式：

S = πR²

反正都是常数，不妨让 f(θ) = (R²/2)，则 S 面积（繁：積） 为 如下黎曼积分：

将周长公式中半径设为(拼音：wèi)变量 ρ 于是得到周长函数：

f(ρ) = 2πρ

这样，每个小圆环（繁：環）的面积 近似的等于，以 周长为高 以 内径为底的矩形面积（想《拼音：xiǎng》象将小圆环 从 极轴处水平剪开，然后上下拉直(练：zhí)，由于圆环很薄因此内外周长几乎相等，构成矩形的左右两个边， 而内径本来就相同，构成矩形的上下两个边）：

ΔSᵢ = f(ξᵢ)Δρᵢ

其中[读：zhōng]，Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，ξᵢ ∈ [ρᵢ₋₁， ρᵢ]，又令 λ = max{Δρᵢ， i = 1， ...， n} 于是我们又得到一个标准[繁体：準]的黎曼积分：

这个结果就是{shì} 全部小圆环 的面积 之（读：zhī）和，即，S 的面积，于是我们又得到圆的面积公式：

S = πR²

以半径 ρ 为变量的，面积函(读：hán)数 F(ρ) = πρ² 是 周长函数 f(ρ) = 2πρ 的原函数，并且 有【pinyin：yǒu】条件 F(0) = 0，使得不定积分常数 C = 0，即，

绘制成图如下xià ：

反过来，这同样说明：圆的周长函数 f(ρ) = 2πρ 是 面【pinyin：miàn】积函数 F(ρ) = πρ² 的导数，所以，我们其【读：qí】实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式，即，

C 的这部分的函数[繁：數]为：

y = f(x) = √(R² - x²)

于是直接利用 黎【拼音：lí】曼积分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S" 的面积 如下：

注[繁：註]意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂的不定积分推导过程均省略，有兴趣大家可以自行推导。而根（拼音：gēn）据 对称性，S 的面积 是 S" 的 4 倍，于是我们就双得到了圆面积公式：

S = 4S" = 4(πR²/4) = πR²

这里，D 就是 S，L 就【练：jiù】是 C，只要设，

Q(x， y) = x， P(x， y) = 1

于是，格林公式左边为(繁：爲)：

这就是 S 的【拼音：de】面积。接着 利用，两类曲线积分的关系：

结合 上面 C 的 第一个(繁体：個)参数方程，格林公式右边为：

格林公式左右联立，于是我【wǒ】们叒得到圆的面积公式：

S = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮_C (Pdx Qdy) = πR²

可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面“，

每一个小扇面的面积，近似等于红色梯形{读：xíng}面积（大三角形减去小三角形）：

Δσᵢ = 1/2 ρᵢ² Δθᵢ - 1/2 (ρᵢ - Δρᵢ)² Δθᵢ = [(ρᵢ ρᵢ₋₁) / 2] Δρᵢ Δθᵢ = ρ"ᵢ Δρᵢ Δθᵢ

其中，Δθᵢ = θᵢ - θᵢ₋₁， Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，令，λ = max{Δσᵢ， i= 1， 2， ...， n = m²}，并取小扇面 的中心点 (ρ"ᵢ， θ"ᵢ) 处 的(de) 二元函数(繁：數)值 f(ρ"ᵢcosθ"， ρ"ᵢsinθ")，于是就得到了 极坐{练：zuò}标下的二重积分计算公式：

注意：以上的推导过程，可以 从(拼音：cóng) 圆盘 S 扩展到 任意 有界封闭区域[练：yù] D。利用，上面的【练：de】 二重积分计算公式，有：

这(繁体：這)样，我们就叕得到了圆的面积公式。

球的表面积公式

x² y² z² = R²

于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲qū 面 B" 对应的二元函数为：

z = f(x， y) = √(R² - x² - y²)

对于 XOY平面[繁：麪] 上 的任意 中心 为 (x， y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴（垂直于 XOY平面），投影到 B" 上的面积，近似于 投(拼音：tóu)影 到 B" 在 (x， y， f(x， y)) 处 切面 上的面积 Δm ， 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的夹角，则有：

Δm = Δσ / cos r

为什么《繁：麼》呢？因为：Δσ 可以分成 无数个小矩形：

Δσ = ∑ aᵢ × bᵢ

让 aᵢ 边 与 切面 与 亚博体育XOY平面 交线 平行，于是 bᵢ 边 就与《繁：與》 交线 垂直，

这样 aᵢ 边 在 切面上的投影仍然是 aᵢ ，bᵢ 边在切面上的投（练：tóu）影 则是 bᵢ / cos r，于是 每个小矩形 在切面(繁体：麪)上的投影 面积 为 (aᵢ × bᵢ) /cos r，进而有：

Δm =∑ (aᵢ × bᵢ) / cos r = Δσ / cos r

另外，根据立体几何知识，我《pinyin：wǒ》们知道：

B" 在 (x， y， f(x， y)) 处 的切面 与 XOY 平面 的夹角 等于 B" 在 (x， y， f(x， y)) 点(繁：點) 切面【pinyin：miàn】法线 和 Z 轴 的夹角，

又因为，B" 在 (x， y， f(x， y)) 点的 切面法线向量 为（繁体：爲）：

n = (-∂f/∂x， -∂f/∂y， 1)

Z 轴 单位【练：wèi】向量 为：

k = (0， 0， 1)

所以（练：yǐ），根据内积的定义，有：

cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√((∂f/∂x)² (∂f/∂y)² 1)

注意：上面的【拼音：de】结论（以及证明过程）适用于，任何可表示为 函数 z = f(x， y) 形式的 正则曲面（繁体：麪），而非仅仅是 B"。对《繁体：對》于曲面 B" 来说，有：

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带入上面得到{pinyin：dào}：

cos r = 1/(√ x² / (R² - x² - y²) y² / (R² - x² - y²) 1) = √(R² - x² - y²) / R

于是，曲面B" 面(繁：麪)积 的 二重黎曼积分为：

再利用，前面推导出来的 极坐标下二重积分的计算公式【拼音：shì】，有：

最后，根据对称性【拼音：xìng】 B 的表面《繁体：麪》积{繁体：積} 是 B" 的两倍，于是我们得到 球的表面积公式：

B = 2B" = 4πR²

和上面类似shì ，对于每一个薄片，外圈表面积 ΔBᵢ 同样(繁：樣)是 顶面半径 为 √(R² - x²) 的 圆柱体 圆面 面积（繁：積） 2π√(R² - x²) Δxᵢ 的 1/cos r 倍数，

这里的 r 是，曲线开云体育 y = f(x) = √(R² - x²) 上 (x， f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹[繁体：夾]角，也等于 曲线 在该点 处 切线法线 n = (-f"， 1) 和 Y轴 单位向量 j = (0， 1) 的夹角。

同样，根(gēn)据内积公式有：

cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√(f"² 1) = 1 / √((-x/√(R² - x²)) ² 1) = 1 / √(x²/(R² - x²) 1) = √(R² - x²) / R

于是shì ，

ΔBᵢ = 2π√(R² - x²) Δxᵢ / cos r = 2πR Δxᵢ

进而，令 λ = max{Δxᵢ， i = 1， ...， n} 使用黎《练：lí》曼积分，就得【拼音：dé】到 B 的表面积：

球的体积公式

V = {(x， y， z) | x² y² z² ≤ R² }

与上面类（繁：類）似，沿着 X 轴，并垂直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片，则每个厚度为 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁ 的薄片的体积《繁：積》 近似等于 半径为 √(R² - ξᵢ²) （ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁， xᵢ]） 的 同样厚度(拼音：dù)的圆柱体的体积：

ΔVᵢ = π(√(R² - ξᵢ²))² Δxᵢ = π(R² - ξᵢ²) Δxᵢ

接着，令(pinyin：lìng) λ = max{Δxᵢ， i = 1， ...， n} ，使用 黎曼积分，就[练：jiù]得到 V 的(读：de)体积：

利用，球面坐标下的三重（pinyin：zhòng）积分计算公式：

对于，P 点的 球面坐标 定义为(wèi)：

ρ ∈ [0， R]为 |OP|，φ ∈[0， π] 为 OP 于 Z 轴夹[jiā]角，θ ∈[-π， π] 为 OP 在[练：zài] XOY 平面上的投影 与 X 轴的夹角，

则(繁：則)，有，

这个公式的推导，和上面 极坐标[繁体：標]下二重重（zhòng）积分计算公式的推导非常类似，有兴趣大家可以自己jǐ 试一试。对于 球体 V 的体积，来说：

f(x， y， z) = F(ρ， φ， θ) = 1， ρ(φ， θ) = R

于[繁：於]是，有：

例如，f(x) 在 [a， b) 有定义，在 b 点无定义，则（读：zé） f(x) 在 [a， b] 上shàng 的积分 可以定义为：

（由于小石头数学水平[练：píng]有（拼音：yǒu）限，出错在所难免，欢迎各位老师和hé 同学批评指正。）

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