高等代数1试题 什么是高等代数（繁：數）吗？

什么是高等代数吗？解方程是《初等代数》的主要内容，代数方程根据 未知数的个数 和 次数 分为两个方向：多元一次方程组一元多次方程《高等代数》就是对这两个方向，继续深入研究，发展出来的。☆ 对于 多元一次方程组 的研究 产生了 线性代数，分如下阶段：阶段1：从 解方程 到 向量空间

什么是高等代数吗？

• 多元一次方程组
• 一元多次方程

☆ 对于 多元一次方程组 的研究 产生了 线性代数，分如下阶段：

• 阶段1：从 解方程 到 向量空间。

数学（繁：學）家从中，总结出，m维向量的概念：

接着又 把所有m维向量 放在一起 得到 m维向量空间，记为 ℝᵐ，并进一步研究出多种关于向量空间的知识：线性表(繁：錶)示澳门新葡京、线性无关、秩、向量的加法、数乘，等，以及 点乘（内积）:

然直播吧后，又由多个向量liàng 拼接出了 矩阵：

并总结出 矩《繁体：榘》阵的 转置， 加减法，等，以及乘法：

这样 线性方程组 就可澳门永利以表【biǎo】示为 矩阵相乘的形式：

再对《繁体：對》其求解过程进行分析，发现了 行列式：

以及，著名【练：míng】的 克莱姆法则。

行澳门新葡京列式(读：shì) 还有助于 求解 矩阵的 逆阵！

• 阶段2：从 向量空间 到 线性空间：

根据 研究向量空间的性质，可知：线性空间 V 中的 极大线性无关元素组 {ε₁， ε₂ ， ⋯ ， ε_m} （被称为 向量空间的一组基），可以用来线性表示 线性空间中的任意元素 α = a₁ ε₁ a ₂ε₂ ⋯ a_mε_m，其线性表示的系（繁：係）数构成一个 向量 a = #28a₁， a₂， ⋯， a_m#29，也就是说 取定 一组基 {ε₁， ε₂ ， ⋯ ， ε_m}，则 线性空间 V 中 的 每一个元素 α 和 一个向量 a 一一对应，于是 我们 依然称 线性空间的元素 α 为 向量，而将 其对应向量 a 的维度【练：dù】 m（也就是 基的个数）定义为 线性空间 V 的维度。

线性空间的（读：de）出现，标志着数学抽象化进程的开端。

接着，数学xué 家对 线性空间 之间的 能保持 向量的加法和数乘的 线性映射 进行了深入研究，其中的最重要(练：yào)发现是：

一旦线性空间 的基取定，则 线性映射 和(练：hé) 矩阵 一一对应，线【繁体：線】性映【拼音：yìng】射的复合就是 对应矩阵 的乘法。

与之类似，数学家还研究了， r 个 线性空间 到 实数域 ℝ 的 能保持 向量的加法和数乘的 r重线性（练：xìng）函数，从而有了：二重对称线性函数——二次型 的知识，并且 还发现： n阶 行列式 就是 n 维线性空间 上【拼音：shàng】的 使【拼音：shǐ】得 det#28E#29 = 1 的 唯一 n重反对称线性函数 det。

• 阶段3：从 线性空间 到 内积空间：

从 内积 分别导出 距离 和 范数，使得 内积空间 变【pinyin：biàn】为 距离空间 和 赋范线性空间[繁：間]，以及具有了 完备性问题。

将 内积定义【pinyin：yì】 扩展到 复数域 之上，得到 酉空间。

• 阶段4： 从 线性代数 到 四面开花：

☆ 对于 一元多次方程 的研究 产生了 抽象代数：

早在 阿拉伯数[繁体：數]学昌盛的 时代，古代数学家（繁：傢） 就 推导出[繁：齣]了 一元二次 方程 ax² bx c = 0 的 求解公式：

文艺复【练：fù】兴后，欧洲数学家 先《xiān》后 发现了 一元三次方程 和 一元四次方程 的 求解公式，可是 直到 18世纪 数学家还是 没有找到 一元五次(读：cì)方程的 求解公式。

Abel 是第一个证明： 一元五次方程 是{shì}没有 根式解的，之后 Galois 进一步 证明了 一元方程 在什么情况下（练：xià）有 根式《读：shì》解：

域 F 上 一元n次（pinyin：cì）方程 f#28x#29 有根式解 当且(练：qiě)仅当 Galois 群 Gғ#28f#29 是一个可解群。

为此，Galois 先后hòu 建立的 《群论【练：lùn】》《环论》《Galois 理《lǐ》论》， 这组成了《抽象代数》，从此 数学 真正进入了 抽象时代。

《高等代数》，含有 群、环、域， 的 初步 知识，以及 一元多项式环 和 多元多项式环，这些都是 为 之后的 《抽象》 学习做准备。在《抽代》中，线性空间 是 模 的 特例，即，域上的模，所以前面线性代数部分，同样是 《抽代》 的基础。

《高等代数》和《高等数学》（《数学分{pinyin：fēn}析》）一样 是 进入专业数学领域 的入门课程，主要包括：线性代澳门新葡京数 和 抽象代数初步 两部分内容，同学们将从中领会到 数学抽象的魅力！

（以上是小石头个人对《高等代数》的理解，由于数学[繁：學]水平有限，观点难免偏薄，仅供各位参[繁体：蔘]考！）

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