公理化思想（读：xiǎng）的例子初中数学 数学抽象思想包括？

数学抽象思想包括？数学抽象的思想 ：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。 数学推理的思想 ：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等

数学抽象思想包括？

现代教材怎么表述公理的？

《几何原本》中的公理体系

5条[繁体：條]公设：

（1）由任意一点到dào 另外任意一点可以画直线。

（2）一条有限直线可以继续延长(拼音：zhǎng)。

（3）以任意点为心及任意的距离可以画圆[繁：圓]。

（4）凡直角都彼此相(练：xiāng)等。

（5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的【拼音：de】和，则这二直线经无限{拼音：xiàn}延长后在这一侧相交。（与平行公理等价）

澳门新葡京显然第5公设与其他公设不同，它的行文较长，远不是那nà 种不证自明的真理。有证据表明，欧几里得本人在《几何原本》第1卷的演绎证明中一直尽力避免应用这一平行公设，在前28个命题的证明过程中，他对其他公设都运用自如，而唯独一直没有使用第5公设。

5条公(练：gōng)理：

（1）等澳门永利于同【练：tóng】量的量彼此相等。

（2）等量加等量，其和仍{pinyin：réng}相等。

（3）等量减等量，其差仍相（读：xiāng）等。

（4）彼此能开云体育重合的物体是全等的《de》。

（5）整体大于部分【拼音：fēn】。

公设是针对几何的，公理更具一般性，不仅仅针对几(拼音：jǐ)何。长期以来，人们认为公理4具有几何特《读：tè》征，应归入公设[繁体：設]的范围。

初中数学教材中的公理体系

如S.S.S，初中数学教材把它作为基本事实，而《几何原本》把它作为定理。为了证明该定理（lǐ），欧几里得采用了[繁体：瞭]下列方法。

要证明三边对应相等的△ABC和△A′B′C′全等，只需证明两个三角【pinyin：jiǎo】形能完全重合，即只需把某一对应边《繁体：邊》，例如BC和B′C′重叠，证明A与A′重合即可。如图1所示，A与A′的情况只有下列4种情况：

（1）A和A′不包含在另一三角形【xíng】中。

（2）A和A′之一在另一三角形内部（pinyin：bù）。

（3）A和A′之一在另一三角形边上。

（4）A和【练：hé】A′重合。

图(繁：圖)1

对于情况1，如图2，连结A 和{pinyin：hé}A′。因为△ABA′是等腰三角形，所以yǐ 底角相等，即∠BAA′=∠BA′A。

由【拼音：yóu】图2可知∠CAA′＜∠BAA′＝∠BA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。由(练：yóu)于CA=CA′，

所以【拼音：yǐ】∠CAA′=∠CA′A。于是矛盾，因此情况1不成立。

图2

对于情况[繁：況]2，如图3，分别延长BA、BA′至D、E。因为[繁体：爲]BA=BA′，所以∠BAA′=∠BA′A，所以∠DAA′=∠EA′A。

由图《繁：圖》3可知∠CAA′＜∠DAA′＝∠EA′A＜∠CA′A，即∠CAA′＜∠CA′A。

由于CA=CA′，所以∠CAA′=∠CA′A。于[繁：於]是矛盾，因此情况2不成立。

图3

对于情况3，显然不成立。综上，只有情况4成（练：chéng）立，即A和A′重合。

在欧几里得之后约500年（3世纪），一个叫费[繁体：費]洛的几何学家通过把两个三角形如图4放置，连结AA′，利用“等边对等角”得出∠BAC=∠BA′C，再利用S.A.S（S.A.S是第1卷的第4个命题，S.S.S是第1卷的第8个命题）证{pinyin：zhèng}明△ABC≌△A′B′C′。

图（繁：圖）4

《几何原本》与初中数学教材中的公理体系证明举例

在上述欧几里得证明S.S.S的方法中，他用到“等边对等角”这一(练：yī)等腰三角形的性质。在《几何原本》中，“等边对等角”是第1卷的第5个命题，排在作为第1卷第8个命题的S.S.S的前面，因此，欧几里得用“等边对等角”证明S.S.S是无可厚非的。这与初中数学教材的安排刚好相反，初中数学教材是在给出三角《拼音：jiǎo》形全等的三条判定定理S.A.S、A.S.A、S.S.S后，用三角形全等的判定证明“等边对等角”的（参见华东师大版初【练：chū】中数学教材八年级上册第79页）。

由于在《几何原本》中S.A.澳门永利S是第1卷（读：juǎn）的第4个命题，而“等边对等角”是第1卷的第5个命题，因此欧几里得运用S.A.S对“等边对等角”给出的证明如下：

已知：如图(繁：圖)5，在△ABC中，AB=AC。

求{pinyin：qiú}证：∠B=∠C。

图《繁体：圖》5

证明思路：如图6，在BD任取一点澳门新葡京F，在AE上截取AG=AF，连结FC、GB。先运用A.S.A证明△AFC≌△AGB，得出∠ABG=∠ACF；再运用A.S.A证明△BCG≌△CBF，得出∠CBG=∠BCF。最后根据“等量减等量【练：liàng】其差相等”得出∠ABC=∠ACB。

图tú 6

在欧几里得之后约500年（3世纪（繁：紀）），一个叫巴伯斯的人rén 仅仅利用图5，通过运用S.A.S证明△ABC≌△ACB，非常简洁地得出了《繁体：瞭》∠B=∠C。

由于欧几里得的证明复杂、难懂，这一定理以“笨人过不去的桥”著称。之所以有此[读：cǐ]说法，一是因为欧几里得的图形有点像座桥；二是因为许多对几何知识了解不深的学生都难于理解这一定理的证明，也就是无法跨过这座桥，进入《几何原本》的其他(读：tā)部分的学习[繁体：習]。

通过《几《繁体：幾》何原本》和初中数学教材对这一定理的不同证明，我们感受到：如果初中数学教材严格《读：gé》按照《几何原本》的公理体系呈现，对初中学生的学习显然会带来很大困难。因此，《义务教（pinyin：jiào）育数学课程标准（2011年版）》对平面几何内容的处理是适当的，既遵循了数学的发展规律，又遵循了教育和初中生认知发展的规律。

教材中的公理体系编写方式弊端显现

但是近几十年来，特别是19世纪末到20世纪初，数学发展到所谓理性主义阶段，写书强调综合统一、严格化、演绎法在数学中取得支配地位，最后，数学教材只反映演绎而无归纳了，近半个世纪以来，由于公理化的影响，尤其是现代形式主义的影响，公【拼音：gōng】理化主义、纯形式主义反映到数学中来，数学被逐步描述为公理化系统，应该承认，公理化思想是数学发展的一大进步，把数学知识整理成《拼音：chéng》公理化系统，使其更有条理、更严密(练：mì)，是很有必(练：bì)要的，

作为教材，只持《读：chí》形式主义观点固(拼音：gù)然可以训练人的逻辑思维能力、却难以培养学生灵活的创造{拼音：zào}、发明能力，应该演绎、归纳并重.

已故数学教育家徐利治教授发出，落后3个世纪的数学教材，中国数学[繁：學]的未来究竟在何方的感慨！现在数学教育的教材内容陈旧，教学方法古板，教学观点偏于形式主义和机械，这是从宏观的观点说的，国外也如此，许多数学工作者认为，总的说（繁：說）来，现在初中、高中教材基本上是16-17世纪的产物，大学教材是18-19世纪的东西，大【拼音：dà】学生直到做毕业论文时才接触20世纪的文献，教材编写数十年如一日，没有什么变化.

例如，我国高校现行微积分等教材基本上沿袭20世纪50年代向苏联学习时的那套传统，虽经几(繁：幾)次改写，还是三十四年前的东西，只是组织得更有条理、更严格{pinyin：gé}、更形式化一些而已，但至今我们都没有接触流形的观点，美国近20年来都开设“流形上的微积分”课，国外工程师都会运用这种流形分析工具，其实流形的观点并不困难，而且用流形观点讲微积分反而简化某些概念使其便于应用，我国近几年开始注意这个问题，先后翻译和出版了基本关于流形上的微积分方面的著作[pinyin：zuò]，上述固步自封的局面适应不了当代数学发展的需要，现在数学教育已经到了非革新不可的阶段，

参[繁体：蔘]考文献：

李文革，《几何原本》与（繁体：與）初中数学教材中的公理体系

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