微积分如何计算天体轨道？“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。” ——恩格斯牛顿因其运动定律的发现与微积分的发明，被誉为有史以来最伟大的物理学家，而牛顿在世的时候，更是被当时的人们誉为仅次于上帝的人
微积分如何计算天体轨道？
“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。” ——恩格斯牛顿因其运动定律的发现与微积分的发明，被誉为有史以来最伟大的物理学家，而牛顿在世的时候，更是被当时的人们誉为仅次于上帝的人。那么它何以享有如此之{练：zhī}高的称号呢，就是因为他发明的理论完美地解释了宇宙万物的运动规律。在17世纪，欧洲文明才刚刚从中世纪的阴霾中苏醒，人们普遍认为大地星辰都是上帝的杰作，按照上帝规定的法则来运行。然而一个叫牛顿的凡人却(繁体：卻)发现了这些法则，因此人们把牛顿当神一样来崇拜。那么，牛顿的理论是如何解释了天体的运行呢，最具有代表性的一个例子就是大名鼎鼎的“开普勒三定律”开普勒三定律的提出是一个漫长的历史过程
自古希腊一直到中世纪，人们始终坚持“地心说”的观点，以希腊晚期天文学家托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约100年—170年）为代表。他在著作《至大论》中全面阐述了“地心说”的理论模型，该书成为主导西方1000余年的天文学标准教材。但是随着人类天文观测手段的【拼音：de】不断进展，有越来越多的证据表明地心说并不成立。直到1543年，波兰伟大的天文学家(jiā)哥白尼（Nikolaj Kopernik，1473—1543年）发表了名著《天体运行论》，提出了“日心说”的观点，掀起了西方科学史上著名的“哥白尼革命”。随后，丹麦诞生了另一位伟大的天文学家第谷（Tycho Brahe，1546—1601），他以当时人们科学技术难以企及的精度，取得了大量的天体运行观测资料，而他的学生开普勒（Johannes Kepler，1571—1630），则利用老师留下了这笔宝贵的资料，加上自身的勤奋与天赋，取得了惊人的成就
开普勒一（pinyin：yī）开始和前人一样，认为宇宙天体绕中心天体运行的（拼音：de）轨道是完美的圆形。但是他按照不管是托勒密还是哥白尼，乃至自己老师第谷给出的计算方法，得到的数据与老师资料中的观测数据均《读：jūn》不相符。于是一个大胆的想法在他心中逐渐形成，他放弃了行星轨道是圆形这一固有观念，认为实际应该是一个椭圆。此为基础经过大量的计算，开普勒在1609年和1619年相继发表了《新天文学》和《宇宙谐《繁体：諧》和论》，提出了著名的关于行星运动的“开普勒三定律”，并因此赢得了“天空立法者”的美名。开普勒三定律的完整叙述如下：
1.所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
2.行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
3.所有行星绕太阳一周的周期的平方与它们轨道半长轴的立方成比。即
其中，T表示行星运行的周期，a表示半长轴，C是某个常数。
开普勒虽然提出了三定律，但由于当时数学工具有限，他并没有给出严格的证明。而直到牛顿提出了万有引力定律，并发明了微积分之后，才利用这种新兴的数学工具，给出了开普勒三定律的证明。下面就来介绍一下是怎样证明的。首shǒu 先需要一些预备知识。
1.离心率与圆锥曲线的极坐标形式
设F是平面上一个固定的点，l是平面上一条固定的直线。我们再选定一个固定的常数e，那么到点F的距离和到直线l的距离的比值恒等于e的点就形成一条轨迹。根据e取值的不同，轨迹呈现不同的形状。结论就是：当e=1时，曲线是抛物线(繁体：線)。
当(繁体：當)世界杯e<1时，曲线是椭圆。
当e>1时，曲线【繁体：線】是双曲线。
我们称F为焦点(繁体：點)(focus)，l为准线(diretrix line)，e为曲线的离心[拼音：xīn]率。同时我们也知道e=c/a
证明：当e=1时，曲线很明显就是抛物线，因为这就是抛物（pinyin：wù）线的定义。
当e≠1时。我们以F为原点，以与准线垂直的方向为x轴，建立直角坐标系，同时也把它看成是原点为极点，x轴为极轴的极坐标系，并用字母d表示原点与准线的距离。在曲线上(shàng)任选一点P，如上图，P到F的距离就是r，P到准线的距离就是d减掉P的横坐标，而P的横坐标就是r·cosθ，再根据两个距离比值等于e就可以列出式子:把式子两边平方一下我们知道[读：dào]，在极坐标(biāo)系中：r²=x² y²，并且rcosθ=x，因此式子就变成当e>1时，把式子拆开，再对x和y进行配方我们把上面这个复杂的公式里边某些量设成简单的字母：于是整个式子就变成了
而这很明显就是(拼音：shì)一个椭圆了
同样对于e<1的时候也[yě]是如此，可以证明它是双曲线。
在上面《繁：麪》的证明过(拼音：guò)程中，我们得到了圆锥曲线的极坐标形式如下，其具体形状由e来决定
2.向量代数
为了阅读的方便，先在此声明：下文中所有的斜体小写字母表示的都是数量，正体加粗的字母表示向量。我们在高中时学过向量的《练：de》点乘运算，到了大学高等数学中的解（拼音：jiě）析几何部分会学向量的叉乘运算与混合积运算。
对两极速赛车/北京赛车个向（繁：嚮）量
我们规定dìng 它们的叉乘结果是
我们可以利澳门银河用右手定则来判断叉（chā）乘向量的方向，如图所示：
关于向量的叉乘运算，它满足如下的运算性质[繁：質]，这几条性质在我们后面(拼音：miàn)的证明中非常有用
以及若两个向量平行，那么它们叉乘为零向（繁：嚮）量，这也是一个非常常用的(拼音：de)结论。有了《繁：瞭》叉乘运算，我们可以定义混合积运算，即三个向量先让后两个做叉乘，再跟前一个做点乘：
混合积运算满《繁：滿》足的运算性质如下：
3.向量函数与向量函数的微积分
我们通常接触的函数都是给定一个x得到一个y，即给定一个数得到另一个数。而向量函数则是给定一个数得到一个向量，我们这里需要研究的是三维向量，因此一个向量函数表示为如下的形式：其中t是自变量，x(t)，y(t)，z(t)都是关于t的一(yī)元函数(繁体：數)，那么上面的式子就相当于给我一个t，我[读：wǒ]就得到了一个三维向量，用r(t)来表示。
当t变化《读：huà》起{练：qǐ}来的时候，得到的向量也在随着变化，当t取很多值的时候，就可以得到无数多个向量，将这无数多个向量的终点连成一条线，就得到了一条空间曲线，这也是我们表示空间曲线的非常常见的一种方式。
各式各样的空间曲（繁：麴）线
向量函数作为《繁体：爲》以t为[繁：爲]自变量的函数，也是可以关于t求导的，它的求导方法就是对每个分量分别关于t求导：
同(繁体：衕)样对于向量函数也是可以做积分的，方法就是对每个分量进行积分：
同样为了以下证明的需要，我们还要了解向【练：xiàng】量微分的一些计算性质
，下图中u(t)和v(t)都是向量函(拼音：hán)数，f(t)是普通的一元函数:
在研究运动学问题中，t通常表示的（pinyin：de）就是时间
，而r(t)是一个向量，它的终点及物体所处的位置，因此我们就利用向[繁体：嚮]量函数来描述空间中一个物体的运动轨迹。而我们在中学学习微积分的时候就知道，对位移求导得到的就是速度v，对速度求导得到的就是加速度a，并且速度与[繁体：與]加速度都是向量。在三维空间中运动也是如此，对表示位置的向量函数求导得到的就是速度，对速度（pinyin：dù）求导得到的就是加速度，即
而空间中运动的速度方向就是其运动轨迹的切线(繁：線)方向：
4.向心力场
物体在任何一点的受力方向都指向空间中一个固定的点，这种力场成为向心力场。为了研究向心场，我们把固定点作为坐标原点，建立三维直角坐标系。于是物体无论位于哪个位置，它受到的力都是指向原点的，我们用F(t)来表示。同时物体本身所在的位置是r(t)，所以很明显，F(t)和r(t)是反方向的，而力的方向和加速度a(t)的方向是一[拼音：yī]样的反方向也是一种共线，根据我们前面提到的过向量{练：liàng}叉乘的性质，两向量共线则叉乘为0，于是：
我们来研究 r×v，对该式子关于（繁：於）t求导，需要使用叉乘的求导法则，得到：
因此 r×v 是一个常向量，我们记为b，即《读：jí》
4.万有引力定律与加速度向量
中学物理课我们都学过，两个质量分别为M和m，间距为r的物体，之间的引力大小是GMm/r²，用F表示M对m的引力，于是就有任何一个向量等于自身的长度乘以该方向上的单位向(xiàng)量，我们把M放在坐标原点，于是引力的方向正好是由物体的位置r指向原点，因此F和(hé)r反向，而r则表示了r的长度（注意！这里面的r一个加粗了一个没加粗，前面已经说过，加粗表示向量，没加粗表示数量），于是我们可以得到：
带入到万有引力表达式shì 中有：
再根据加速度计算公式：F=ma，就有yǒu
两边消去m就得到（pinyin：dào）：
这就是绕质量为M的中心天体运动的加(读：jiā)速度公式。
有了上述的准备知识，我们就（pinyin：jiù）可以来证明开普勒三定律了。
开普勒第一定律的证明
首先以太阳为原点建立直角坐标系和极坐标系，并假定t=0时，行星位于近日点，运动方向垂直于x轴，初始位置用r0表示，初始速度用v0表示，如下图所示：我们上文已经证明了r×v是个常向量，用b表示，因此r0×v0也等于这个b，我们用r0表示r0的长度，用v0表示v0的长度，于是就有：并且为了表示的方便，我们再引入单位向量u：其中θ就是极坐标系中的《de》θ.
于是表示行星位置的向量函数r就可以写成将这个r带入《pinyin：rù》到前面[拼音：miàn]加速度计算公式中可以得到再代入到速度的计算公式中，就有因此
再利用向量函数求导（繁：導）的链式法则对u进行求导
因此带入到b的表达式中就得到我们再让加速度a和b做叉乘再利用b是常向量，因此关于t的导数为0，就有对这个式子两边做不定积分，可以得到其中，C是某个常向量。为了求出具体的C，将t=0时的r0，v0和b代入，可以得到再代回不定积分式子中再在式[pinyin：shì]子左端用r做点乘，利用混合积的运算性质[繁：質]有
同样的比较上面两个式子就[读：jiù]有于是就可以反解出r我们(繁体：們)简记于是关于r的式子就可以写成
根据我(练：wǒ)们前《拼音：qián》面讲过的圆锥曲线的极坐标形式，它就是一条圆锥曲线，而具体的取值要有e来决定。可以把万有引力常数、太阳质量、行星运行的参数代入，就可以得到，太阳系的九大行星绕太阳旋转，轨道都是椭圆形。
开普勒第二定律的证明
我们知道，在坐标系下计算曲线r=f(θ)围成的面积，公式为它的推导同样《繁体：樣》是利用微元法
我们计算一下行星从θ0运动到θ时扫过的面积，这是一个以θ为积分上限的变上限积分：
利用变上限积分的求导公式对t进行求导可得根据前面的两个式子和可得而r0v0是常数，因此dA/dt也是常数，这就【拼音：jiù】是说明面积随时间的变化率是固定的，即相同tóng 时间内扫过相同的面积。
开普勒第三定律的证明
椭圆的半长轴和半短轴分别用a和b来表示，于是整个椭圆的面积就是A=πab。另一方面，前文又得到面积随时间的变化率，因此整个面积就相当于一个周期之内对变化率的积分，即两边平方并移项：再利用离心率的公式代入就有和椭圆的极（繁：極）坐标方程相对比可以得到于是
而4π²/GM是常数，这就（练：jiù）说《繁体：說》明了T²和a³成正比(读：bǐ)。至此开普勒三定律全部证明完毕。
可以看出，开普勒定律从最初提出到最终证明，凝结了无数人的汗水与智慧。第谷留下的宝贵的观测资料，开普勒灵光乍现的灵感，以及牛顿天才般地创立了微积分，是人类思想史与科学史上浓墨重彩的一笔。整个过程是人类理性对宇宙自然【pinyin：rán】不断发掘的过程，处处闪耀着人类理性之{练：zhī}光！无怪乎微积分被恩格斯称为人类精神的最高胜《繁：勝》利。
参考资[繁：資]料：
[1] Calculus， early transcendentals， 11ed， Howard Anton， Irl Bivens， Stephen Davis， JOHN WILEY & SONS， INC
[4] Precalculus， 9ed， Michael Sullivan， PEARSON
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