球冠{pinyin：guān}体积公式积分推导

利用定积分推导球的体积公式？解答： 在空间直角坐标系中。 球体的方程：x^2 y^2 z^2=r^2 沿着x轴正方向，球体被分成若干个圆，他们以x轴为圆心，半径 R为x的函数R(x)=√r^2-x^2

利用定积分推导球的体积公式？

圆的周长、面积，球的表面积和体积公式，如何用微积分精确推出来？分析一下？

圆的周长公式

x² y² = R²

在 极（繁：極）坐标下，曲线方程为：

ρ = R， θ ∈ (-π， π]

两者结合，就得到[拼音：dào] 一个笛卡尔直角坐标下参数方程（θ ∈ (-π， π]）：

x = R cosθ

y = R sinθ

利用，关于弧澳门永利长的曲线积(繁：積)分公式：

令， f(x， y) = 1，就是 计算 曲线 L 的 弧长 的[pinyin：de]公式。

这(繁体：這)里，我们 将C 看成 从 a = (-R， 0) 点 出发 按照逆时针方向 旋转一周 又回到 a 点[繁体：點]的曲线，

于是，计算 C 的 弧长为（读：wèi）：

这个弧长就是 C 的周长，这样，我们就得到了，所熟悉的《pinyin：de》 圆的周长公式：

C = 2πR

令，t = x，则 C" 的参数方程为(繁体：爲)（t ∈ [-R， R]）：

x = t

y = √(R²-t²)

同样，利用上面的弧长公式，计算 C" 的弧长为[繁：爲]：

而 C 的周长显然是(拼音：shì) C" 弧长的 2 倍，于是，我们就又得到了圆的周长公式：

C = 2C" = 2πR

圆的面积公式

S = {(x， y) | x² y² ≤ R² }

在 平《pinyin：píng》面极坐标下，圆盘 S 可以被分割为无数的 "小扇形 "，

每个 小《读：xiǎo》扇形 的{练：de}面积 近似等于【pinyin：yú】 以弧长 Δl = R Δθ 为底 以半径 R 为高的 三角形面积：

ΔS = (1/2)R(RΔθ) = (R²/2) Δθ

这些 ΔS 全部加起来，然{pinyin：rán}后让 每个 ΔS 尽量小，即， Δθ 取 0 的极限，这样，就得到一个【练：gè】黎曼积分，

这个结果就是 全部小扇形 的面积 之和，即(jí)，S 的面积，于（繁体：於）是(shì)我们得到，圆的面积公式：

S = πR²

反正都是常数，不妨让[ràng] f(θ) = (R²/2)，则 S 面积 为 如下黎曼积分：

将周长公式中半径设为变[繁：變]量 ρ 于是得到周长函数：

f(ρ) = 2πρ

这样，每个小圆环的面积 近似的等于，以 周长为高 以 内径为底的矩形面积（想象将小圆环 从 极轴处水平剪开，然后上下拉直，由于圆环很薄因此内外周(繁体：週)长几乎相等，构成矩形的左右两个边， 而内径本来就相同，构成矩形的[读：de]上下两个边）：

ΔSᵢ = f(ξᵢ)Δρᵢ

其澳门永利【qí】中，Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，ξᵢ ∈ [ρᵢ₋₁， ρᵢ]，又令 λ = max{Δρᵢ， i = 1， ...， n} 于是我们又得到一个标准的黎曼积分：

这（繁体：這）个结果就是 全部小圆环 的面积 之和，即，S 的面积[繁：積]，于是我们又【读：yòu】得到圆的面积公式：

S = πR²

以半径 ρ 为变《繁体：變》量的，面积函数 F(ρ) = πρ² 是 周长函数 f(ρ) = 2πρ 的原函数，并且 有条（繁：條）件 F(0) = 0，使得不【练：bù】定积分常数 C = 0，即，

绘制《繁体：製》成图如下：

反过来，这同(繁体：衕)样说明：圆的周长函数 f(ρ) = 2πρ 是 面[拼音：miàn]积函数 F(ρ) = πρ² 的导数，所以，我们其实可以从圆的面积公式通过求导得到圆的周长公式{练：shì}，即，

C 的这部分的函数(繁体：數)为：

y = f(x) = √(R² - x²)

于是直接利《拼音：lì》用 黎曼积分，可以求出 S 在 第Ⅰ象限 部分 S" 的面积 如下：

注[繁体：註]意：为了节约篇幅，从这里开始，复杂的不定积分推导过程均省略，有兴趣大家可以自行推导。而根据 对称性，S 的面积 是 S" 的 4 倍，于是我们就双得到了圆面积[繁：積]公式：

S = 4S" = 4(πR²/4) = πR²

这里，D 就是 S，L 就是 C，只要设(拼音：shè)，

Q(x， y) = x， P(x， y) = 1

于（繁：於）是，格林公式左边为：

这就是 S 的面积。接着 利用【yòng】，两类曲线积分的关系：

结合 上《读：shàng》面 C 的 第一个参数方程，格林公式右边为：

格林公式左右联立，于是我{拼音：wǒ}们叒得到圆的面积公式：

S = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∮_C (Pdx Qdy) = πR²

可以将 S 的内部 分为 许多 ”小扇面【练：miàn】“，

每一个小(xiǎo)扇面的面积，近似等于红色梯形面积（大三角形减去小三角形）：

Δσᵢ = 1/2 ρᵢ² Δθᵢ - 1/2 (ρᵢ - Δρᵢ)² Δθᵢ = [(ρᵢ ρᵢ₋₁) / 2] Δρᵢ Δθᵢ = ρ"ᵢ Δρᵢ Δθᵢ

其中，Δθᵢ = θᵢ - θᵢ₋₁， Δρᵢ = ρᵢ - ρᵢ₋₁，令，λ = max{Δσᵢ， i= 1， 2， ...， n = m²}，并取小扇面 的中心点 (ρ"ᵢ， θ"ᵢ) 处 的 二元函数值 f(ρ"ᵢcosθ"， ρ"ᵢsinθ")，于是就得到了(繁：瞭) 极坐【读：zuò】标下的二重积分计算公式：

注（繁：註）意：以上的（de）推导过程，可以 从 圆盘 S 扩展到 任意 有界封闭区域 D。利用，上面的《练：de》 二重积分计算公式，有：

这样，我们就叕得[读：dé]到了圆的面积公式。

球的表面积公式

x² y² z² = R²

于是，球面 B 在 XOY 平面的上半部分 的 曲面 B" 对应的二元函(pinyin：hán)数为：

z = f(x， y) = √(R² - x² - y²)

对于(拼音：yú) XOY平面 上 的任意yì 中心 为 (x， y) 的 一小块 Δσ 沿着Z轴（垂直于 XOY平面），投影到 B" 上的面积，近似于 投影 到 B" 在 (x， y， f(x， y)) 处 切面 上的面积 Δm ， 设 r 是 该切面 与 XOY平面 的《练：de》夹角，则有：

Δm = Δσ / cos r

为什么呢？世界杯因为：Δσ 可以分成 无数个小矩{pinyin：jǔ}形：

Δσ = ∑ aᵢ × bᵢ

让 aᵢ 边 与 切面 与 XOY平面 交线 平行，于是 bᵢ 边 就与 交线[繁：線] 垂直，

这样 aᵢ 边 在 切面上的投影仍然是 aᵢ ，bᵢ 边在切面（繁：麪）上【pinyin：shàng】的投影 则是 bᵢ / cos r，于是 每个小矩形 在切面上的投影 面积《繁体：積》 为 (aᵢ × bᵢ) /cos r，进而有：

Δm =∑ (aᵢ × bᵢ) / cos r = Δσ / cos r

另外，根据立体几何知识，我们知（pinyin：zhī）道：

B" 在 (x， y， f(x， y)) 处 的切面 与《繁体：與》 XOY 平面 的夹角 等于 B" 在 (x， y， f(x， y)) 点 切面法线 和【hé】 Z 轴 的夹角，

又因为（繁：澳门金沙爲），B" 在 (x， y， f(x， y)) 点的 切面法线向量 为：

n = (-∂f/∂x， -∂f/∂y， 1)

Z 轴 单位(wèi)向量 为：

k = (0， 0， 1)

所以，根据内积的定义，有：

cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√((∂f/∂x)² (∂f/∂y)² 1)

注意：上面的结(繁体：結)论【练：lùn】（以及证（繁：證）明过程）适用于，任何可表示为 函数 z = f(x， y) 形式的 正则曲面，而非仅仅是 B"。对于曲面 B" 来说，有：

∂f/∂x = -x/√(R - x² - y²) ， ∂f/∂y = -y/√(R - x² - y²)

带入{拼音：rù}上面得到：

cos r = 1/(√ x² / (R² - x² - y²) y² / (R² - x² - y²) 1) = √(R² - x² - y²) / R

于是，曲面B" 面积 的【读：de】 二重黎曼积分为：

再利用，前面推导出来的 极坐标下二重积分的计算公式，有《拼音：yǒu》：

最后，根据对称性 B 的表面积 是 B" 的两倍，于是我们得到 球的表(繁：錶)面积公式《读：shì》：

B = 2B" = 4πR²

和上面类似，对于每一个薄片，外圈表面积 ΔBᵢ 同样是 顶面[繁体：麪]半径 为 √(R² - x²) 的(拼音：de) 圆柱体 圆《繁：圓》面 面积 2π√(R² - x²) Δxᵢ 的 1/cos r 倍数，

这里{pinyin：lǐ}的 r 是，曲线 y = f(x) = 澳门金沙√(R² - x²) 上 (x， f(x)) 点 处切线 和 X 轴的 夹角，也等于 曲线 在该点 处 切线法线 n = (-f"， 1) 和 Y轴 单位向量 j = (0， 1) 的夹角。

同样，根(gēn)据内积公式有：

cos r = n ⋅ k / |n||k| = 1/√(f"² 1) = 1 / √((-x/√(R² - x²)) ² 1) = 1 / √(x²/(R² - x²) 1) = √(R² - x²) / R

于{练：yú}是，

ΔBᵢ = 2π√(R² - x²) Δxᵢ / cos r = 2πR Δxᵢ

进（繁：進）而，令 λ = max{Δxᵢ， i = 1， ...， n} 使用黎曼积分，就(jiù)得到 B 的表面积{繁体：積}：

球的体积公式

V = {(x， y， z) | x² y² z² ≤ R² }

与上面类似，沿着 X 轴，并垂(pinyin：chuí)直于 X 轴 将 球体 V 切成 无数 薄片，则每个厚度为 Δxᵢ = xᵢ - xᵢ₋₁ 的薄片的体积[繁体：積] 近似等于 半径为 √(R² - ξᵢ²) （ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁， xᵢ]） 的 同样厚度的圆柱体的体积：

ΔVᵢ = π(√(R² - ξᵢ²))² Δxᵢ = π(R² - ξᵢ²) Δxᵢ

接着，令 λ = max{Δxᵢ， i = 1， ...， n} ，使用 黎曼积分，就得到《pinyin：dào》 V 的体（繁：體）积：

利用，球面坐标下的三重积分计算公【练：gōng】式：

对于，P 点的 球面坐标 定义为（读：wèi）：

ρ ∈ [0， R]为 |OP|，φ ∈[0， π] 为 OP 于 Z 轴夹《繁：夾》角，θ ∈[-π， π] 为 OP 在 XOY 平面上的投影 与 X 轴的夹(繁体：夾)角，

则，有[pinyin：yǒu]，

这个公式的推导，和上面 极坐标下二重重积分计算公式的推导非常类[繁：類]似，有兴趣大家可以自己试一[pinyin：yī]试。对于yú 球体 V 的体积，来说：

f(x， y， z) = F(ρ， φ， θ) = 1， ρ(φ， θ) = R

于[繁：於]是，有：

例如，f(x) 在 [a， b) 有定义，在 b 点（繁体：點）无定义，则 f(x) 在 [a， b] 上的积分 可以{pinyin：yǐ}定义为：

（由于小石头数学水【pinyin：shuǐ】平有{练：yǒu}限，出错在所难免，欢迎各gè 位老师和同学批评指正。）

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