关于级数求和的意义，大家有何见解？一、前言部分级数理论是数学研究的重要对象，它不但在日常的生产、生活中都有广泛的应用，而且还是研究函数性质进行数值计算的有力工具。其中级数求和是级数理论的基本问题之一，也是较难解决的问题，因为除等比级数、等差级数等一些常见的特殊级数外，一般级数都难以求出它的部分和，所以级数求和的方法比较灵活，技巧性也比较强，因此懂得一些解题策略和掌握一些解题方法也就显得尤为重要
关于级数求和的意义，大家有何见解？
一、前言部分级数理论是数学研究的重要对象，它不但在日常的生产、生活中都有广泛的应用，而且还是研究函数性质进行数值计算的有力工具。其中级数求和是级数(繁体：數)理论的基本问题之一，也是较难解决的问题，因为除等比级（繁：級）数、等差级数等一些常见的特殊级数外，一般级数都难以求出它的部分和，所以级数求和的方法比较灵活，技巧【pinyin：qiǎo】性也比较强，因此懂得一些解[pinyin：jiě]题策略和掌握一些解题方法也就显得尤为重要。
因此许多学[繁体：學]者通过理解、构造、举例等，从多方面、各角度对级数求和的解题策略和方法作出了大胆的研究和探索，为具体问题(tí)求解创造了更有效的应用价[jià]值，也为级数求和问题的进一步发展作出了新的贡献。
经过大量参考文献的阅读，我们发现许多研究者还在各类论文、期刊、书籍中进一步介绍了如何利用收敛定义、幂级数、傅里叶级数、解微分方、一些有[读：yǒu]趣的公式、概率组合与组合数(繁：數)公式的性质及借助已知级数的和并利用收敛级数的运算等基本性质来求数项级数的和。
在对主题进行探讨研究前，作[练：zuò]为铺垫，下面首先（读：xiān）了解一下其中基础的【拼音：de】概念知识[1]:
定义1:若数项级数的部分数列《pinyin：liè》收敛于(即)，
则称数项级数收敛，称为数项级{繁：級}数的和(即)
定义2:有幂级数（繁体：數）列所产生的函数项级数
称为{练：wèi}幂级数
定义3:若函数在点的某领域内存[练：cún]在直至阶的连续导数，则
称为函(练：hán)数在点的泰勒公式。
若在处存在任意阶导数，则[繁：則]这时称形式为
的级数为函数在点（繁：點）的泰勒级数。
定义4:如果函数在点的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数在点
的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式（练：shì）
的右边为在处的泰勒展开式或称幂级数展开kāi 式。 定义5:若整个数轴上?
且等式右边级数一致收敛，则有澳门永利如[练：rú]下关系式:
，
它们称为函数(关于三角函数系)的傅里叶系数，以的{de}傅里叶系数为系数的三
角级数?称为(关于三角《练：澳门威尼斯人jiǎo》函数系)的傅里叶级数。
二èr 、主题部分
无穷级数是最简单的无穷表达式《拼音：shì》，最早的无穷级数涉及哲学和逻辑的悖论，
并没有推及{练：jí}一般的无穷级数其次无穷【繁：窮】级数往往同微积分在一《练：yī》起叙述，而这时期无穷级数只是近似计算的工具。现有的文献对无穷级数某些方面的发展做了深入研究，L. Feigenbaum【2】曾详细研究了泰勒定理的产生过程Giovanni Ferraro
【3】从欧拉对插值问题研究的角度分析(拼音：xī)了欧拉??麦克劳林求和公式的推导P.Dugac【4】从总结魏尔斯特拉斯《sī》的研究工作中分析了级数的一致收敛{练：liǎn}性。
1、级(繁：級)数的早期工作
无穷级数很早就在希腊数学中出现过，虽然希腊人惧怕无穷，试图用有限和来代替无穷和，但是这只是潜无穷与实无穷的差别。芝诺的二分法涉及到把1分解成无穷级数。亚里士多德也认为这种公比小于1的几何级数有和。阿基米德在他的《抛物线图形求{练：qiú}积法》一书中，在求抛物线弓[读：gōng]形面积的方法中使用了几何级数，并且求出了它的和。中国古代的《庄子?天《拼音：tiān》下》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数[5]
到了(繁体：瞭)中世纪（繁：紀），无穷级数这个课题曾使那时《繁体：時》的哲学家与数学家着迷，既引起了他们对“无穷”的兴趣，又促使他们就一些明显的悖论进行激烈的争论。例如，修塞特解决了这样一个问题，它可以借助于运用叙述如下[6]:
如果一个点在某段时间的前一刻以不变的初始速度运动，在接下来四分之一的时间中以二倍的初始速度运动，在随后的八分之一时间中以三倍的初始速度运动„„这样无限的(de)继续下去，那么这个点在整个这段时间的平均速度等于初始速度的二倍。把这段时间的长度和初始速度都取为一(读：yī)个单位，则上述问{练：wèn}题等价于级数求和
在这个方面最杰出的代表人物就是奥雷姆，他有许多天才的思想，尤其是无穷的思[拼音：sī]想[读：xiǎng]。他明确几何级数有两种可能性，当公比大于等于1时，无(繁：無)穷几何级
数有无穷和当公{读：gōng}比小于等于1时有有限和。在《欧几里得几何问题》中，他以严格的方式证明当无穷级数项的值不是按比例减少时，其和也可以是无（读：wú）穷，并且在书中以调和级数作为例子来探讨[7]。
无穷级数的研究在十五、十六世【shì】纪以休塞特和奥雷姆的方式继续前进，但由于仅限于文字叙述和几何方法，所以没有取得重大进步。这些无穷级数早期研究的主要贡献并不在于所得到的具体结果（读：guǒ），而在于促使人们接受一种新的观点，即在数学中可以自由承认无限过程。
17世纪微积分诞生之后，无穷级数作为一种工[拼音：gōng]具在数学的前进中起到了巨大的推动作用。为了把早期的微积分方法应用于超越函数，常常需要把这些函数表示为可以逐项微分或积分的无穷级数，泰勒定理为此做出了贡献。将函数展成无穷级数之《zhī》后，人们又在考虑这个问题的逆问题，即级数的求和问题。
欧拉和麦克劳林为此给出了（繁：瞭）一个求和公式??欧拉?麦克劳林求和公式。18世纪级数方面的工作大都是形式的，大部分数学家都把级数看作多项式的代数推广，于是产生许多问题，从而要求数学家进(繁体：進)行严密化的研究。19世纪，柯西建立了级数理论，阿尔贝（繁体：貝）对此进行了完善，后来由魏尔斯特拉斯提出的一致收敛完成了整个级数理论的构建。级数理论的形成影响了发散级数在数学中的地（dì）位，但最终由于它的实用性形成了渐近分析。
2、 早期[qī]的级数求和
在17?18世{练：shì}纪，数学家打破对无穷的禁戒，逐渐应用无穷级数作为表示数量的工具，同时研究各种无穷级数的（练：de）求和问题，17世纪中叶，圣文森特的格雷戈里在他的《几何著作》中，证明了阿基里斯追龟的悖论可以用无穷几何级数的求和{练：hé}来解决。格雷戈里第一次明白了无穷级数表示一个数，即级数的和，并称这个数
为级数的极限。他说:“一个数列的终点就是它，即使延续到无限项也不能达到的这个（繁体：個）级数的尽头[繁体：頭]，但是这个数列却能够比任何给定的区(qū)间更接近它。”
1650年，门格里给《繁：給》出[8]
级数容易(练：yì)求和，因为恰有 因此， 。
设，就可以得到这个无(wú)穷级数的和为1[9]。
第一个真正粗略求和的问题是也是门格里研究的这个级数，但门格里对这[繁体：這]个级数的研究没有取得成功gōng 。
莱布尼茨考察过调和级数，曾试图《繁体：圖》将和表示成一个有限值，但是后来未幸运飞艇能做到这一点。1696年他认识到将表示成有限值这一想法是错误的。
雅各布?伯努利在1689?1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，共60个命题，使他成为当时这一领域的权威。在第一篇论文中，就级数理论本身而言，雅各布?伯努利做出了一个很有启发性的工作，即证明调和级数1 „的和是无穷[10]。他首先指出了故有这意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于[繁：於]任何给定的量，从而整个级数的和必是无穷【繁体：窮】。在文章末尾，他还证明了无穷级数的和是有限数，他虽然承认自己还不能求出这个和的精确值，但却知道关于优级数可以求出它的前n项和。雅各布?伯努利去世之后，级数的和最后由欧拉于1737年成功地得到
在级数求和的问题中，引起{练：qǐ}了极大的争议。如果把级数写成{练：chéng}结果为。如果把级数(shù)写成结果为。但是，如果把级数的和表为，则，从而。格朗迪是比萨大学的数学教授，在他的《圆和双曲线的求积》一书中[11]，用表达式
令，得到。他主张级数的和为，还表示由于级数在的形式下为，他也已[读：yǐ]证明世《pinyin：shì》界能够(繁：夠)从空无一物创造出来。1713年以后，莱布尼茨在和沃尔夫的相互通信中，也研究过级数，并同意格朗迪的结果，但他有另一种论证的方法。莱布尼茨认为，如果级数的第一项，前两项的和、前三项的和、前四项的和等等，那么（繁体：麼）就得到。在这里取和的几率是相等的，因此必须取算术平均数作为和，因为这个算术平均数是最有可能取的到的值
雅各布?伯努利、约翰?伯努娱乐城利、丹尼尔?伯努利以及拉格朗日都能接受这样《繁：樣》的解释。
3、 现【xiàn】今级数的求和
经过历史的研究与发展，澳门巴黎人结合历史上大量数学家的研究理论与所得结论，当[繁体：當]今学者对级数问题与级数求和问题都做出了深入的考察与进一步的探究，创造性地提出了许多级数求和的策略与方法。
于乃福，金丹丽，仲济?，康国强、华守亮分别在《数项级数求和法》[12]、《级(繁：級)数求和的方法》[13]、《级数求和的解题策略》[14]、《数项级数的求和问题初探》[15]文献中研究了利用收敛定义，即若数项级数的部分数列收敛于(即)，则称数项级数收敛，称为数项级数的和(即)用收敛幂级数的和函数，即找一个适当的幂级数，使收敛域内某一点对应的数项级数恰好为所要求的{读：de}数项级数及其傅里叶级数求数项级数的和的思想方法，并讨论了利用学习借(繁体：藉)助已知级数的和及利用收敛级数的运算等基本性质求（qiú）数项级数的和的方法。
徐望文、曾维宏，郭定根，刘小宁，汤光宋、朱渭川，汤光宋分别在《一类级数的求和公式》[16]、《数项级数求和的(读：de)若干方法》[17]、《求无穷级数和的一个递推公式》[18]、《某一类交错级数求和的递推公式》[19]、《几类有趣分式(练：shì)型数（繁：數）列的求和公式》[20]文献中提出并证明了一些解决不同级数的求和问题的结论与公式，使我们对某类具体的级数求和问题有了更简便的求法。
毛慧娟在《练：zài》《系数为多项式的幂级数求和法》[21]这一文献中更是通过举例
深入讨论了系数为多项式的幂级数这一类[繁体：類]特殊级数的求和方法，并将此方法与计算机编程结【繁：結】合在一起，是其在生活中有了具体的应用。
而潘天娟则主要在《利用解微分[读：fēn]方程求无穷级数的和》[22]这一文献中提出（繁体：齣）了利用解微分方程来求无穷级数的和这一思想方法【pinyin：fǎ】，使级数的求和方法更灵活也更宽阔。
刘珍儒更是《pinyin：shì》在《一个求无穷级数和的方法》[23]这一文献中给出了一个通过求导计算无穷级数[繁：數]和的方法，将一般的数项级数与函数项级数推广到线性（读：xìng）算子层面上来讨论，使级数求和问题变得更深刻也更广泛。
当然经大量文献阅读后还发现陈碧琴、翁绍铭等学者甚至在创造性地将级数求和问题与概率组合联系在一起[24]，得出了一些新性质，并通过对它的【pinyin：de】恒等变形在某[pinyin：mǒu]些数列的求和方面进行了实际的应用[25]，更使级数求和问题通过概率论得到了新的证明与具体应用。
无穷级数及其求和[读：hé]方式的发展演化正是上述分析背景的写照，它在18世纪的形成发展，促成了数学家在19世纪建立无穷级数理论。现今数学理论的学习与研究中，无穷级{繁体：級}数更是作为众多学者研究的一个有效工具，无穷级数求和也作为研究的一块重要内容，促使数学家在数学发(繁体：發)展上进行大胆的尝试，虽然产生许多悖论，但使数学产生了很多分支，丰富了数学理论的发展。此外，发散级数在天文、物理上的广泛应用，推动了人类发展《拼音：zhǎn》的进步。
三、总（繁体：總）结部分
本（běn）文对级数与级数求和的有关内容进行探讨，并对一些基础的概念进行概gài 括说明。对级数及其求和早期的发展进行了有（yǒu）序的梳理，尤其对十七世纪后，格雷
戈里、门格里、莱布尼茨、雅各布?伯努利、欧拉、格朗迪等众多数学家对级数理论的大量研究成果经行归纳总结。并归纳总结了现今数学研究者对级数求和问题所提出的新内容，如利用收敛幂级数的和函数、傅里叶级数、收敛定义及收敛级数的运算等基本性质、已知级数的和及、微分方程、已知恒等式、一些递推公式、几《繁体：幾》类有趣分式型数列的求和公式、概率组合及组合数公式的性质等，从多方面、各角度对级数求和的解题策略【lüè】和方法作了进一步探讨。
熟悉并熟练掌握以上所述的各类级数求和的思维转化策略及问题转化的技巧，不但有利于我们增强洞察问题的能力，更能大大提高我们解答级数求和问题的速度与准确率。但由于此些策略与方法之间不{练：bù}是孤立的，往往相互渗透、共同作用才能解决问题，所以这也就要求我们能熟练并灵活地掌握这些策略与方法，深入挖掘其本质，为进一步探究级数求和问题大好夯实的基础。相信在此学习基础上大家一定能在级数求和问题上会有开宽阔创新的思维，并做出更深一步的研究，甚至利用级数及{练：jí}其求和理论来解决物理、经济学等疑难问题，并掌握这种重要的数学思想，对数学研究或解决更深层的实际问题作更大的贡（繁体：貢）献。
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