偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向[繁体：嚮]量分析和微分fēn 几何中是很有用的。
引入[读：rù]：
在xOy平面（繁：麪）内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向{练：xiàng}的变化(练：huà)率。
在《练：zài》这里我们只学习函数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平行于y轴[繁体：軸]两个特殊方位变动时，f#28x，y#29的变化率。
偏导(dǎo)数的算子符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标【biāo】轴正方向的变化率。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函数【shù】zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的某一邻域内有定义当y固定在y0 而x在x0处有增量{拼音：liàng}x时相应地函数有增量 f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如(rú)果
#29处对x的偏导数记为
即《pinyin：jí》
。
同理可kě 定义函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29处对y的偏导数为
.
即《拼音：jí》
。
1
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高等数学下《读：xià》册讲稿 第四章 数学分析教研室
如果函数zf#28x，y#29在区域D内任一点#28x，y#29处对x的《读：de》偏导数shù 都存在那么这个偏导数就是x、 y的函数它就称为函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简称偏导《繁：導》数记作
.
同《繁：衕》理可以定义函数zf#28x，y#29对自变量y的偏导数记作
偏导数的概念可以[读：yǐ]推广到二元以上函数
如澳门伦敦人uf#28x，y，z#29在#28x，y，z#29处{pinyin：chù}
2、计{练：jì}算
从偏导[繁：導]数的定义可以看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是《pinyin：shì》一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。
例1求zx23xyy2在(拼音：zài)点#281，2#29处的偏导数
解法一[拼音：yī]
解法二【读：èr】 z
z x113yy
这里我们要知道(练：dào)有时 “先求偏导函数shù 再代值求某点的偏导数”不一定简便。如下例lì
例[读：lì]2 f#28x，y，z#29x
.
解【拼音：jiě】:
.
例3 已【pinyin：yǐ】知理想气（繁体：氣）体的状态方程pVRT R为常[pinyin：cháng]数求证 pVTVpT1 .2
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高等数学下册《繁体：澳门新葡京冊》讲稿 第四章 数学分析教研室
证《繁：證》明 p
.
有关偏导数的几点diǎn 说明
1、 偏piān 导数
是一(读：yī)个整体记号不能拆分
2、求分界点（繁体：點）、不连续点处的偏导数要用定义求
例如(练：rú)，zf#28x，y#29 xy，求
.
解{拼音：jiě}
.
例{pinyin：lì}4设f#28x，y#29
#29的偏导数(繁：數)。
解[读：jiě]当#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按àn 定义可知
，
，
故（练：gù）
.
、偏导数存在与连续[繁：續]的关系
一元函数中在某点可导 函数在该点一定连续但多元函数中在zài 某点偏导数存在 函数【pinyin：shù】未必连续.
例【lì】如
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但dàn 函数在该点处并不连续.
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分析教研《读：yán》室
4、偏导数的几(拼音：jǐ)何意义
设M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是曲面zf#28x，y#29上shàng 一点则
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对x轴的斜率偏导数fy#28x0，y0#29就是[练：shì]曲面被平面xx0所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的[pinyin：de]斜率.
二、高{读：gāo}阶偏导数
设函数zf#28x，y#29在区域D内的两个偏导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也[pinyin：yě]存在则称它们是函数zf#28x，y#29的二阶偏导数【pinyin：shù】。记作
#29
#29
定义二阶及二阶以上的de 偏导数统称为高阶偏导数.
例5设{练：shè}z
.
解
.
例6设ueax cosby求[qiú]二阶偏导数.
解(jiě)
问题混合偏导数[拼音：shù]都相等吗
例（读：lì）7设f#28x，y#29
.
解当（繁：當）#28x，y#29#280，0#29时，
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高等数学下册讲稿 第四章 数学分(读：fēn)析教研室
，
当#28x，y#29#280，0#29时按定义可知[读：zhī]
，
，
显然fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问题具备怎样的条件才能使混合偏导数《繁体：數》相等
定理lǐ 2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个二阶混合偏导数
内连续那末在该区域内这两个二阶混合偏（piān）导数必相等
例8验证函《pinyin：hán》数u#28x
.
证明 ln x
，
证毕（繁：畢）.
内[繁体：內]容小结:
1.偏导数的定义偏增量比的[读：de]极限
2.偏导数的{读：de}计算、偏导数的几何意义
3.高阶偏导数纯偏导混合（繁体：閤）偏导及其相等的条件.
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