数【shù】数下图有多少个三角形

下面的图形中有几个三角形？一共17单片：62片：7（左右3，上下4)3片：2（左右各1）4片：16片：1下面图形中有三角形几个？图1有2个小三角形，共有2 1=3个三角形；图2有3个小三角形，共有3

下面的图形中有几个三角形？

下面图形中有三角形几个？

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一个自然的问题是： 给一个正有理数n，是否存在面积为n的有理三{pinyin：sān}角形？

我们可以做一些[pinyin：xiē]简单的观察：

世界杯①由于可同时伸缩边长，只需【xū】考虑 。

②取两个有理直角三角形，若它们某直边长度一样，则可将两三角形沿此边拼成（pinyin：chéng）一个大的有理三角形，或将较长的三角形沿此边去掉另一个[拼音：gè]三角形得到一个小的钝角有理三角形，面积均为有理数。（由余弦定理易知，任何面积有理的有理三角形都可如此得到）

③ 对大皇冠体育于1的有理数 ，考虑边长 的直角jiǎo 三角形，面积为 。

推论：对于非零有理数r，s，只要 就存在面积为（繁：爲）K的有理三角形。

Pf：若r，s>1，则用②相加，若0

根据①，下面只[zhǐ]需证明：

至多相差一个有理数的平方， 上述shù 形式的K可取到任何正有理数。

P世界杯f（Fine）：任给正有理数k，考虑 ，有理数x待定。代{读：dài}入有：

只需要右边是【shì】平方数，就可知K可取到k（差一个平方），即证。

记 为我们需要的de 平方数，y待定。为了消去右边的平方项，自然设 ，a待定。我们希望最后得到x的方程比较简单，对比可知应取a使得 中 的项系数[繁：數] 为0，即取 ， 。

代入 ，解jiě 得

综澳门新葡京《繁：綜》上，对任何正有理数k，令 ，其中 ，则K(差一个有理数的平方)=k。于是我们证明了：

1.任给一个正有理数shù n，存在一个面积为n的有理三角形。

继续（繁体：續）我们的讨论，一个自然的问题是：这样的有理三角形是否唯一？

可以直接[pinyin：jiē]验证【pinyin：zhèng】对于k>2，边长为 的[pinyin：de]三角形面积也是k，这说明并不唯一，通过伸缩（ks^2 to k）我们得到：

2.任给一个(繁：個)正有理澳门巴黎人数n，存在无穷多个面积为n的有理三角形。

例：上述（pinyin：shù）公式取k=1，边长为5/3， 17/6， 3/2的有理三角形面积是1

比起不知来自何处的公式，利用椭圆曲线可{拼音：kě}给出一个解释。

类似同余数问（繁：問）题，面积（繁体：積）为n（mod 有理数的平方）的有理三角形将对应一族椭圆曲线 上的非2阶的有理点（t跑遍非零有理数，t=1则对应的三角形是直【pinyin：zhí】角三角形）具体对应为（Heron Triangles via Elliptic Curves）

而这族椭圆曲线的挠点有较好的控制（注意它们都有4个2阶点，故根据B. Mazur的工作挠部分的有理点只能是 或 ，根据简单的分析可排除3，6，8阶挠点），挠部分只能有2阶点和4阶点。现在只需先构造一个面积为n的有理三角形，使它对应的点P不是特《练：tè》殊的4阶点，那么就无挠，则P的不同倍bèi 给出不同的面积为n的有理三角形。

注：根据海伦公式 ，考虑三角形的内切圆则a，b，c由p，q，r表出，更好的问题应该是：对于哪些有理数C， 中的四次曲面 （关于p，q，r）

有有理lǐ 点？

上面的结论表明【pinyin：míng】C取有理数的平方时， 有无数有理点（且p，q，r>0），其论证可推广到任何正有理数C的情形。而公式解中各变量是k的有理函数，几何来（繁体：來）说是指曲面 包含亏格为0的曲线；椭圆曲线的解法表明， 包含正rank的椭圆曲线。

这一系列问题得到了很好的解决，大概是因为 （的射影化）是K3曲面并且 足够对称（有好的自同构）。在这方面有一个project是专门研究K3曲面的算术，比如著名的费马曲面 ，又比如Ronald van Luijk有一篇文章An elliptic K3 surface associated to Heron triangles，是用K3曲面(繁：麪)的理论得到存在无wú 穷多duō 个面积、周《繁：週》长都为给定值的海伦三角形（边长、面积均为整数），但这方面我不甚了解，故暂且打住。

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