偏导数的背景？在数学中，一个多变量的函数的偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。引入： 在xOy平面内，当动点由P#28x0，y0#29沿不同方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的，因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率
偏导数的背景？
在数学中，一个多变量的函数的【pinyin：de】偏导数，就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导dǎo 数（繁：數），在其中所有变量都允许变化）。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。
引入：
在xOy平面内，当动点由[读：yóu]P#28x0，y0#29沿不同(tóng)方向变化时，函数f#28x，y#29的变化快慢一般说来是不同的（练：de），因此就需要研究f#28x，y#29在#28x0，y0#29点处沿不同方向的变化率。
在《zài》这里我们只学习《繁体：習》函数f#28x，y#29沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，f#28x，y#29的变化率。
偏导数的算子【读：zi】符号为:∂。
偏导数反映的是函数沿坐标轴正[读：zhèng]方向的变化率。
偏导数的四则运算法则？
定义2. 1 设函数zf#28x，y#29在点#28x0，y0#29的某一邻域内有定义(繁：義)当y固定在(拼音：zài)y0 而x在x0处有增量x时相应地函数有增量 f#28x0x，y0#29f#28x0，y0#29
如果[pinyin：guǒ]
#29处chù 对x的偏导数记为
即jí
同理可定义函数zf#28x，y#开云体育29在点（繁体：點）#28x0，y0#29处对y的偏导数为
.
即jí
。
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高等澳门银河数[拼音：shù]学下册讲稿 第四章 数学分析教研室
如果函数zf#28x，y#29在区域D内任一点#28x，y#29处对x的偏导数都存在那么这(繁：這)个偏导数就是x、 y的函数它就称为函数zf#28x，y#29对自变量x的偏导函数简称偏导数记《繁：記》作
.
同理可以定义（繁体：義）函数zf#28x，y#29对自变量y的偏导数记作
.
偏导数的概念可以推广到二元{读：yuán}以上函数
如uf#28x，y，z#29在#28x，y，z#29处(繁体：處)
2、计算
从偏导数的定dìng 义可以看出计算多元函数的偏导数并不需要新的方法若对某（练：mǒu）一个自变量求导 只需将其他自变量常数 用一元函数微分法即可。 于是一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数(shù)的偏导数的计算上来。
例（练：lì）1求zx23xyy2在点#281，2#29处的偏导数
解{练：jiě}法一
.
解法二【读：èr】 z
z x113yy
这里我们要知道有时 “先求偏导函数再代值{练：zhí}求某点的{读：de}偏导数”不一定简（繁：簡）便。如下例
例lì 2 f#28x，y，z#29x
.
解:
.
例3 已知理想气体的状态方程pVRT R为[繁：爲]常数求qiú 证 pVTVpT1 .2
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高等数学（繁：學）下册讲稿 第四章 数学分析教研室
证【练：zhèng】明 p
.
有关偏导数的几点说[繁：說]明
1、 偏导数（繁：數）
是一个整体记号[拼音：hào]不能拆分
2、求分界（读：jiè）点、不连续点处的偏导数要用定义求
例如（练：rú），zf#28x，y#29 xy，求
.
解(pinyin：jiě)
.
例4设[繁体：設]f#28x，y#29
#29的《读：de》偏导数。
解当（繁体：當）#28x
当#28x，y#29#280，0#29时，按定义可知《拼音：zhī》
，
，
故{pinyin：gù}
.
、偏导数存cún 在与连续的关系
一元{拼音：yuán}函数shù 中在某点可导 函数在该点一定连续但多元函数中在某点偏导数存{读：cún}在 函数未必连续.
例如（拼音：rú）
#29处fx#280，0#29fy#280，0#290.但函数在该点处并不连续{繁：續}.
3
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高等数学下【拼音：xià】册讲稿 第四章 数学分析教研室
4、偏导数(繁体：數)的几何意义
设{pinyin：shè}M0#28x 0，y 0，f#28x 0，y 0#29#29 是曲面zf#28x，y#29上一点则
偏导数fx#28x0，y0#29就是曲面被平面yy0所截得的曲线在点M 0处的切线M0 Tx对【pinyin：duì】x轴的斜率偏导数fy#28x0，y0#29就是曲面被平面xx0所截得的曲线在zài 点M0处的切线M0Ty对y轴{练：zhóu}的斜率.
二、高阶偏导[拼音：dǎo]数
设函数zf#28x，y#29在区域yù D内的两个偏导数fx#28x，y#29 、 fy#28x，y#29的偏导数也存在则称它们是函数zf#28x，y#29的二阶偏导数。记作(读：zuò)
#29
#29
定义二阶及二阶以上的《读：de》偏导数统称为高阶偏导数.
例5设[shè]z
.
解[练：jiě]
.
例6设ueax cosby求二阶[繁体：階]偏导数.
解《jiě》
问题混合偏{读：piān}导数都相等吗
例7设f#28x，y#29
.
解(读：jiě)当#28x，y#29#280，0#29时，
4
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高等数学下册讲稿 第四章 数学[繁：學]分析教研室
，
当[繁体：當]#28x，y#29#280，0#29时按定义可知
，
，
显然(拼音：rán)fxy#280，0#29fyx#280，0#29.
问{练：wèn}题具备怎样的条件才能使混合偏导数相等
定理2. 1 如果函数zf#28x，y#29的两个二阶混合偏{读：piān}导数
内连续那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相（读：xiāng）等
例8验证函数《繁体：數》u#28x
.
证明（练：míng） ln x
，
证(拼音：zhèng)毕.
内容小【xiǎo】结:
1.偏导数的定义偏增量比的（拼音：de）极限
2.偏导数的计算、偏导数的几【练：jǐ】何意义
3.高阶偏导数纯偏导混合偏(pinyin：piān)导及其相等的条件.
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