可微可{读：kě}以推可导吗

为什么可微必可导？可导不一定可微？大一高数？一元函数是一个充要条件，但在多元函数中，可微性是可以导出的，可微性只有在函数连续时才能导出，我记得高等数学书中一定有这个专栏。如果你找不到，请问高等数学老师，他很乐意回答

为什么可微必可导？可导不一定可微？大一高数？

但在多元函数中，可微性是可（读：kě）以导出的，可微性只有在函【拼音：hán】数连续时才能导出，

我记得高《gāo》等数学书中皇冠体育一定有这个专栏。如果你找不到，请问高等数学老师，他很乐意回答。

函数在一点可导与可微是一回事吗？

因此，它有两个等价的定dìng 义：

如果右边的极限边的公式存在，然后导数存在，然后函数存在这一点就可以导出。

可微性的定义比上述公式《拼音：shì》复杂得多。它需要用到高阶无穷小的概念：

可以看出，可微性和可微性的定义有很大的不同，所以它们是两个完全不同的概念。不{拼音：bù}要把它《繁体：牠》们混在一起。

为了进一步厘清两者的区别，我们需要深入理解可微性的概念。许多人对上述公式感到困惑，因为他们（读：men）不理解其背后的几何意义。让我们[繁体：們]详细介绍一下。

微积分的发明源于牛顿关于如何求变速运动的瞬时速度的思想。他采纳了限制的思想。当然，这个想法不是牛顿提出的。古希腊伟澳门永利大的数(繁体：數)学家和物理学家阿基米德也采用了类似的方法。

那时（繁体：時），他在想如何找到一个圆的面积。现在我们知道他用内接正多边形逼近圆。边数越多，面积越接近圆的面积。当边数无穷大时，即求边数的极限，就【拼音：jiù】可以得到一个圆的整[读：zhěng]个面积

这(繁：這)是中国古代数学家祖崇之用类似的方法计算圆的。这种方法包{bāo}含了一个深刻的思想，即在很小的范围内，一条曲线约等于一条直线：

然后我们用这个思想(pinyin：xiǎng)定澳门博彩义一个函数在某一点的可微性，见下图

我们研究函数在x=a的行为。首先，根据刚才的思想《读：xiǎng》，让我们做一条直线在点x=A附近画一条直线，使其尽可能靠近曲线。注意！我不想在[读：zài]这里做切线。我不知道该画什么样《繁体：樣》的直线。所以我们想知道当它的斜率被取下来时，它能有多近

然后我们需要分析所谓的“尽可能接近”。把这条直线的斜率记为a，来研究x=aΔx处的函数。这一点的函（开云体育pinyin：hán）数值是f（aΔx），那么它和x=a处的函数值之差是f（aΔx）-f（a），即图中所示的Δy。同时，我们用dy来表示这一点上的值和x=a处的值之间的差。让我们来计算dy等于什么

我（读：wǒ）们知道计算斜率的公式是（Yк-Y₁）/（xк-x₁）。如图所示，它实际上是dy/ΔX。这里我们需要（练：yào）注意的是ΔX是DX，我们把直线的斜率设为a，所以dy等于aΔX。当我们知道Δy和dy时，“尽可能接近”意味着Δy和dy之间的差值，即误差Δy-dy，尽可能小。根据我们刚才给出的公式，Δy-dy等于f（aΔx）-f（a）-aΔx，这是可微公式定义(繁：義)的分子部分

问题又来了，什么叫误差越小越好？从图中可以看出，无论直线的斜率是多少，Δx越（练：yuè）小，误差就越小。这样就分不清不同的线了，所以要加强一点条件。我们不仅要求误差越来越小，而且要求误差是关于ΔX的一个高阶无穷小，如果我们能找到一个合适的a来满足这一点，那么我们就说这条线是最（zuì）接近它的。我们学习了高等数学中高【gāo】阶无穷小的定义，即二者之比。当Δx接近0时，极限也为（读：wèi）0

所以我写了[繁体：瞭]刚才提到的可微性定义的表达式。

我想如果我（练：wǒ）们理解了这个原理，我们就能理解可微性的真正内涵，我《读：wǒ》们就能清楚地认识到可微性和可微性是两个完全不同《繁体：衕》的概念。

可微性和可微性之间的关系是什么？如果f（x）在x=a是可微的，则（繁体：則）可以推导出它在a是可微的；反之，如果f（x）在这一点是可微的，则可以推导出它在{读：zài}这一点{pinyin：diǎn}是可微的。让我们来证明这两个结论。

这是我们对可微性的定义，因此我们可以推断函【练：hán】数在这一点上是可微的。

相反，从以上两个定理可以看出，可微（练：wēi）性和可微性是密切相关的。它们不仅相互等价，而且可微性中的导数实际上等价于可微性定义中【zhōng】的a。这就是为什么人们常说两者是同一件事，但实际上，从严格的数学观点来看，两者是完全不同的。

当《繁：當》然，以上是针[繁体：針]对单变量函数的情况；对于多变量函数，z=f（x，y），结论是不同的，可（读：kě）微与可微甚至不等价。

对于多元函数，我们《繁体：們》以二元{拼音：yuán}函数z=f（x，y）为例来研究它在（a，b）的情况。因为平面上有很多方向，我们需（练：xū）要研究它的偏导数，对X的偏导数和对y的偏导数，对X的偏导数的定义是把y的值固定为B，它的严格数学定义是

它的几何解释是在y=a处做一个曲面的横截面，截面是一条曲线【繁：線】，X处切线的斜率等于(繁：於)a，如下图所示

y在这一点(繁体：點)的偏导数是

它的(de)几何解释是曲线在x=a和y=B处的切线段的切斜率，如下图所示

同样，我{pinyin：wǒ}们可以定义函数在（a，B）处的可微性。我们还使用了“把曲线变成直线”的思想。二元函数的图像是一个曲面，所以这[繁体：這]里我们用平面代替（读：tì）曲面，即通过f（a，b）使平面尽可能靠近曲面。关于一元函数的情况，我们可以画下图

我们的目标是使函数值和平面上的值之间(jiān)的误差（练：chà）成为关于自变量变化的无穷小量。将自变量的变化分[读：fēn]为两部分，X的变化为ΔX，Y的变化为ΔY，利用勾股定理可以求出新旧两点之间的距离，即重新求出两个直角边的平方和。遵循同样的原理，我们可以写出一点可微函数的定义：

我们可以看到{拼音：dào}多元函数中一点可微和一点可微的区别是明显的，甚至更明显xiǎn 。

它们甚至不相等。我【拼音：wǒ】们得出以下结论。首先，如果它是可微的，那么就jiù 必须存在两个偏导数，这是确定的。

所以我们有一个类似的结论，不【练：bù】仅存{cún}在两个可微函数的偏导数，而且定义中X的偏导数是a，Y的偏导数是B。

但是这个结论不一定是真的：即使存在两（繁：兩）个偏导数，那么在这一点上它也可能是不可微的《读：de》。下面是一个例子。

因此，在多元函数中，可微性和可微性是不等价的，这告诉我们更需要区分可微(读：wēi)性和可微性。但是我{pinyin：wǒ}们（繁体：們）有一个定理：

这个{练：gè}条件只是函数在[读：zài]某一点可微的一个充分条件，而且它的证明过程比较（繁体：較）复杂，所以我们需要用到拉格朗日中值定理。如果你感兴趣，可以参考相关的教科书。

到目前为止，我们已{练：yǐ}经基本弄清了可微性和可微性的关[繁：關]系，但是数学家们会研究更复杂的函数向量函数，他们的可微性和可微性形式也【读：yě】更复杂，但是他们思想的核心是一样的。

所谓向量函数《繁体：數》，通俗的{读：de}讲就是自变量和因变量都是向量函数。通常，它将n维向量映（拼音：yìng）射为m维向量。一般表达式如下：

有时为了形式美，我们把向量垂直写{练：xiě}：

可以理解为平面[繁体：麪]上的一个位置，Y代表一个向量。因此，二维到二维的向量函[读：hán]数可以理解为给平面上的每个点一个向量，如下图tú 所示

]这里有三个二维到[拼音：dào]二维向量函数的例子。类似地，三维到三维的向量函数相当于给{繁体：給}空间（读：jiān）中的每一点一个三维向量，如下面的例子

上述两个向量函数分别称为二维澳门巴黎人向量[读：liàng]场和三维向量场。矢量场是物理学中一种重要的研究工具。力场，磁铁

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