1=0.9的循[拼音：xún]环

1和0.9的循环哪个大？为什么总有人列出一些公式来证明它们相等？1和0.9的无限循环哪个大？简单的数学题曾引发人类数学危机！最让人纠结的等式，拥有多彩的论证形式“0.999…=1吗?”很多人在小学和中学时都遇到过这个问题，并且现在国内外网站上关于这个问题的讨论仍然很多，认为0.999…=1和0.999…<1的两派都有自己的理由

1和0.9的循环哪个大？为什么总有人列出一些公式来证明它们相等？

最让人纠结的等式，拥有多彩的论证形式

认为0.999…=1的人常给出下面[繁体：麪]三种证明方法：

证法1（最简单的“证明”）：0.111…=1/9，0.222…=2/9，…，0.999…=9/9=1；或者0.333…=1/3，两边同时乘[读：chéng]以3，得到【练：dào】0.999…=1。

调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正(拼音：zhèng)确性。仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333…” 与 “1 等于 0.999…” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999… 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333… 无限接近（拼音：jìn）但并不等于 1/3” 的争议依旧存在，问（读：wèn）题并没有解决。

证法2（“充满争议的证明”）：设0.999…=x，则10x=9.999…；两边同时减去x，得(读：dé)10x-x=9.999…-0.999…；化简，得9x=9，解{pinyin：jiě}得x=1；所以，0.999…=x=1。

有专家在看到这个证明后如此评价：“0.999... 既可以代表把无限个分数(繁：數)加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。澳门新葡京许多学生仅仅把 0.999... 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性。他们并没有发现其实这个无限的过程可以理解成一个数。看了上面这个证明而相信等式成立的学生，可能还没有真正懂得无限小数的含义，更不用说理解这个等式的意义了。”

证法3：若0.999…不等于(繁：於)1，假设0.999…<1，则0.999…<(0.999… 1)/2<1。记t=(0.999… 1)/2，则0.999…

但认为0.999…<1的人（练：rén）对上述三种证明方《读：fāng》法表示怀疑，因为这三种证明方法都是基于数学事实“无限循环小数是分数的另一种表示”，将无限循环小数0.999…看作是分数9/9（=1）的另一种表示，就像0.111…是1/9的另一种表示一样。对整zhěng 数1，我们在计算1/1时，首商0，然后添加小数点，后面就只能继续商9，最后得到1=1/1=0.999…。这只是一种除法运算，并没有真正【pinyin：zhèng】证明“0.999…=1”。

也有人用无[繁体：無]限等比数列求和的方法证实或证伪0.999…=1:

0.9=9/10，0.99=9/10 1/100，0.999=9/10 9/100 9/1000，…，

0.999…=9/10 9/100 9/1000 … 9/10ⁿ=[9/10*(1-1/10ⁿ)]/(1-1/10)=1-1/10ⁿ。

到这里，有人利用无限等比数列求和的{de}方法证实0.999…=1，有[yǒu]人证伪0.999…=1。证实0.999…=1的人认为当n趋于无穷大时，1/10ⁿ趋于0，1-1/10ⁿ趋于1，所以0.999…=1；而证伪0.999…=1的人认为，当n趋于无穷大时，1/10ⁿ趋于0，但永远不等于0，1-1/10ⁿ趋于1，但永远小于1，所以0.999…<1。

下面看一下图像（练：xiàng）证明法：

在这张图中，我们可以很清晰地看到边长为1的正方形被不断地对半切割开来，而它的面积为1。但是依然有人质疑[拼音：yí]这种方法，因为这种方[pinyin：fāng]法看起来并不完美。实际上大正方形的de 右上角是永远无法被填满的。

这个问题的背后，是不同数学体系的碰撞

这里出现分歧的原因是对无穷小的认识不同，这[繁体：這]也是第二次数学危机中争论的焦{拼音：jiāo}点：无穷小究竟是否等于0？无穷小量是一个变量，而在用无穷等比数列求和的证明方法中，左边0.999…是一个常量，右边无限数列求和得到的表（繁：錶）达式是一个变量，所以上述证明过程是无效的。

那么如何证明“0.999…=1”呢？这就需要yào 用到戴德金切割定理，也称实数完备性{练：xìng}定理：对两个实数集A，B， A中的任意元素a小于B中的任意元素b，则A和B构成实数集R的一个切割，则或者实数集A有最大数[繁：數]，或者实数集B有最小数。

戴德金切割定理同样适用于有理数。根{练：gēn}据戴德金切割定理，可证明有理数集Q的一种分割确定唯一一个有理数，且相同的分割确定的有理数相[练：xiāng]同。可以证明0.999…和1确定的有理数集的分割相同，从而0.999…=1。

戴德金分割证（读：zhèng）明如下：

我们可以尝[繁体：嘗]试在1和0.9循环分别进行分割，分割成集合A集合B，和[练：hé]集合C集合D。

A等于C或B等于D，那么别可以证明1和0.9循环(繁：環)相等。

在证明A是C的子集时，我们可以先讨论有理数。然后再{pinyin：zài}利用无理数分割后上无最小有理数。知道一定有有理数大于讨（繁体：討）论的无理数但小于0.9循环。

至此便证明了[le]，0.9循环等于1。

物理角度的再认识

0.9的无限循环真[zhēn]的可以吗？如果让一个数学家去回答这个问题，答案当然就是肯定的，这没毛病。然后把这个问题抛给一个物理学家去回答的话，物理(读：lǐ)学家会陷入沉思，并且告诉你，这需{xū}要通过实验去验证。

物理学家得到的结论是，在目前的理论框架下，0.9不能无限循环，因为时空是有[读：yǒu]最小单位的，那就是普朗克时间和普朗克长度。我们这里不去讨论普朗克时间和普朗克长度的来源，因为这涉及到了引力量子化和大统一理论，目前也只是shì 一个半经典的方程。

在物理学中(拼音：zhōng)，由于0.9不能无限循环，因此0.9的循环和1拥有完全不同的物理意义，它们是不相xiāng 等的，0.9的循环小于1。

澳门新葡京2、有质量的物质的运动速度(练：dù)不能达到光速

高中物理课上（练：shàng），我们都接触过狭义相对论中的洛伦兹协变公式。在质速方程式中我们可以看到，任何一个有质量的【pinyin：de】物体，如果速度被加速到接近光速，那么它的质量将变得无穷大。我们当然rán 是没有那么多的能量能办到这种事

如果把光速看做是1的话，即使是一个电子我们也只能是把它加速到0.9的无限循环，但永远(繁：遠)都不可能等于1，。因为，这要消耗掉整个宇宙的能量(拼音：liàng)。所以1和0.9的循环有着本质的区别

3、0.9无限循环不能等于1关乎[h开云体育ū]着宇宙是开放还是闭合

如果我们把0.9的无限循环看做是我们现在这个宇宙的曲率，那么即使它是无限接近于1的[拼音：de]，也意味着，我们的这个宇宙是【练：shì】个封闭的宇宙。当宇宙的曲率等于一时，我们就是一个平坦的开放的宇宙。这是完全不同的两种情况。数学家不应该让0.9的无限循环等于1。

4、概率统计中的问wèn 题

关于无限小是不是有意义的问题也引起了一大批统计学家的关注，今年年初三位统计学家联名发在《自然》杂志上发表了一封公开信，质疑了统计学课本中写到的：“没有统计显著性则不能‘证明’零假设（关于两组之间无差或者两个实验组（繁体：組）和对照组的假设）。同时，统【繁：統】计显著性也不能‘证明’其他【练：tā】假设。”

他们表示，这种误解[拼音：jiě]用夸大的观点扭曲了文献，而且导致了一些研澳门威尼斯人究之间的冲突。这一质疑迅速得到了，超过800名科学家的支持。

《自然》杂志连续刊发了超过40篇论文都是关于：“21世纪统计推断：P＜0.05以外的世界”的学术论文。这三位科学家指出，他们并不是要禁止P值的使用，而是提议在常规的二分法的情况下不使用P值来决定一个结果是否反驳一个科学假设。其实如果让0.9的（读：de）无限循环等于1，相当于在数学上正是否(拼音：fǒu)定了0.1的无限次方这个无穷小量的真正意义。

这一争议引发类似的数学界的争议，引发第二次数学危机

当阿基里斯跑了100米的时候，乌龟多跑出去一米，阿基里斯跑了一米的时候，乌龟又多跑了一厘米，以此推论下来，阿基里斯永远都跑不过乌龟。虽然现实中是很快就跑过去澳门新葡京的，但是在数学里，似乎永远(繁体：遠)都是追不上的。《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

其实这一争议的实质就是数学上所谓的第二次数学危机的问题。早在公元前450年，芝诺就注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提tí 出了关于时空的有限与{pinyin：yǔ}无限的四个悖论。到了17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。当时一些数学家和其{拼音：qí}他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。

直到19世纪20年代，威尔斯特拉斯在前人工作的基础上，消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。然而关于无穷小量的争议并没有因此就结束，关于第二次数学危机，自其爆发开始直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。

结语

其实本文并不是一个简单的0.9的无限循环是否等于1这个问《繁体：問》题的争论，我想说明的问题是：如果我们不能给数学赋予一定的意义，那么数学存在的意义是什么？科学向来讲究的是求真、求实，向客观存在探讨真理是科学（读：xué）的本质。希望有一天科学家能够找到最终答案，在0.9的无限循环这《繁体：這》个问题面前不再彷徨。

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