平行四边形概念的【pinyin：de】内涵和外延

什么是数学概念的内涵和外延？它们之间有何关系？传统逻辑认为，词项的内涵是它的含义即概念，是事物的特有属性的反映，如"商品"的内涵就是"为交换而生产的劳动产品"；词项的外延是词项所指的事物所组成的那个类，如"人"的外延就是古往今来一切人所组成的那个类

什么是数学概念的内涵和外延？它们之间有何关系？

用在数学中也是如此。比如质数，内涵是质数的概念：“一个大于1的自然数，除了1和它本身外（wài），不能被其他自然（读：rán）数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数；否则称（繁：稱）为合数。”外延就是所有质数的那个类

他们的关系是：内涵确定外延，外延均符合内涵的规定。即概念确【pinyin：què】定类的集合，该集合的元{读：yuán}素的性质均符合概念规定。

什么是数学的原理？

早在苏美尔和古埃及时期，人们(拼音：men)就学会了算术，后来又因为农作、建筑【繁体：築】、历法等的需要 出现了 几何。算术是基础，几何（练：hé）建立在算术之上。直到古希腊前期，大家普遍认为，数学就是对自然数（不包括0）的运用

毕达哥拉斯的 《比例论》，将 万物皆数 推向（繁：嚮）极致。但，很快 西帕索斯 就jiù 发现了 √2 这个不可公度量，史称第一次数学危机。后来欧多克斯用 几何量 代替自然数，修复了 《比例论》，但这导致几何代替算术成为了数学基础，古希腊数学家也将注意力转向了几何【hé】，他们最终的研究成果被 欧几里得 整理在 《几何原本》中

同样是古希腊，因哲学的需要，亚里士{shì}多德《形而上学》引入了 形式逻辑。当然澳门巴黎人这时 逻辑 和 数学 还没直接关系。

同[繁：衕]一时期的【读：de】中国数学家，同样也对数学进行了 大量研究，成果记录在 《周髀算经》《九章算术》《孙子算经》等 著作中。和古希腊数学追求 理论证明 不同 中国数学 讲究的是 计算应用，即，数学的本质就是 计算。

随着时间的推移，中国数学 阴阳（正负） 的思想 传到【pinyin：dào】了 古印度，古印度数学家又加入了 空（零）的概念，从而发明了现在的 阿[练：ā]拉伯数字，并将数字(练：zì)扩充到整个实数。

阿拉伯人，花剌子模 结(繁体：結)合古希腊和hé 古印度算术，引入未知{zhī}数，创立的 代数，并确立了代数的研究对象之一 方程。

时间到了文艺复兴时期。阿拉伯数学的传入欧洲，激活了欧洲人（pinyin：rén）研究数学热情。笛卡尔利用 坐标系 第一次将代数和几何关【pinyin：guān】联起来，建立的解析几何，开启了数学的分析时代

牛顿和莱布尼兹 各自在 解析几何 之上 通过 无穷小量 建立的微积分。但，无穷小量 有时候是 零，有时候不是 零，这遭到了当时数学家的质疑，这就是第二次数学危机。柯西等人创造了 极限 的概念，弥补了 无穷小量 的缺陷， 第二次数学危机完美度过

同时，莱布尼兹还在亚里士多德的基础上提出创造逻辑语言，以[拼音：yǐ]代替自然语言，解决自然语言表述不准确的【练：de】缺陷。

时间进入18世《shì》纪，数学开始大爆发。

数学家发现了《繁体：瞭》欧几里得空间，从而 数学 从研究 一个个具体的de 点、函数，转而研究 所有点、函数 组[繁体：組]成的 空间。后来随着 空间的 研究 出现了 拓扑。

与数学在分析方向的 迅猛发展不同，无理数还没有完全解决，代数又在解一元高次方程上遇到了困难：数学家发现 5 次方程 就是找不到 求根公式。天才数学家 伽罗瓦 敏锐的发现：求根公（gōng）式是由 常数 和 运算 组成的《de》，因此要研究清楚解(jiě)方程问题，必须将 它们一切研究，于是开创了对 代数系统 的研究方向，从而最终完美的解决了该问题。

代数的另一方向上，康托尔 创立了 集合论 并结合 皮亚诺的 算术公理，将 数字 用 集合表示，同时 戴德金 利(拼音：lì)用 分割的 方法，从 有理数集 构成除了 实数集（包括无理数），完美的解决了 第一次数学危机。他们的共同努力，使得 集合 代替 数字 和 几何量 成为了 数学基础。这一切都看似很完美，但还是出了问题：集合论 可以通过概念的外延 和 内涵 两个手段定义 集合，罗素发现 用 内涵定义的 集合 有悖论，“理发师声称只给那些不自己刮胡子的人刮胡子，那么，理发师 给自己刮胡子吗？”，史称【繁体：稱】第三次数学危机

后经数学家研究，发现 不能直接引入 内涵 作为公理，而是要用一组公理代替它，这就是 数学 公理化 的开始。碰巧的是，经过二个世纪的努力，莱布尼兹的逻辑语言，终于被哲学家们创造【pinyin：zào】出来了，逻辑语言马上就 和 公理化 相结合，这时的 逻辑 成为了 数学的基础。不过，早在一个世纪前，布《繁：佈》尔 就发明了 用 布尔代数 来[繁体：來]描述 逻辑，后来被发展为 格论，所有说：格论 和 形式逻辑 互为基础

但有格论有一个缺陷是澳门新葡京： 无法【pinyin：fǎ】定义 模态逻辑 的 模态词。

随着 公理化 的进程，大家发现 为了证明新的定理 有时候要 不断增加新公理，那么，有没有一套固定不变的公（gōng）理，可以推导 出所有 算术定理呢？哥德尔给出了否则的答案：一个(拼音：gè)算术系统的公理集合，在 没有悖论 和 可以推导出所有算术定理 之间只能二选一。

在几何方面。高斯在解析几何的基础上，结合微积分 创立的 古典微分几何。之后黎曼在其老师高斯的 曲面论 基础上 结合 拓扑学，将 用[练：yòng]一个坐标可表示的 欧氏空间，扩展为 用多个坐标澳门巴黎人同时来表示的 流形，从而开启了 现代微分几何的大门。另一方面，彭加莱 在 拓扑空间 中 找到了：基本群 和 同调群，两个代数结构，开启了 代数几何 的研究之路。

时间进入了20世纪。罗素的 《数学原理》的出版，将“逻辑和集和 是数学基础”，这一观点夯实。不管是 空间 还是 代数系统，在 布尔巴基 学派 看来都是 结《繁：結》构，《数学原本》将 “数学是对 结构(繁体：構) 的研究” 这一观点 发展到极致。但，彭加莱 却认为 数学 是 自由直觉，是人的本能。

"数学是计算" 这个来自中国数学的（pinyin：de）看法，一种在默默发《繁：發》展，中国人先后发明了 算筹 和 算盘，帕斯卡 也 研制出了 滚轮式加法器。丘奇在 递归论 的基础上 发明了 λ-演算 开启了 计算证明 之路，而其 学生 图灵 发明了 图灵机 它比 λ-演算 更简单，但却是等价的。 证明就是计算，如果 图灵机 可以停机，就意味着，所有的证明 都可以在有限[练：xiàn]时空内 得证，这就是 停机问题

后来 冯诺依曼 在 图灵机的 基础上建立的 冯诺依曼体系结构 从而 计算机 诞生。计算机 就是 "数学是计算" 这一思[拼音：sī]想 的 佐证 和hé 最终 产物。

还有一种数学思想，一直被人忽略，那就是出身 赌博的 概率，由于一直找不到研究手段，而发展缓慢，后来结合微积分算术有了长足进步，但根基不牢靠，直到 柯尔莫果洛夫 将 用于 澳门博彩补足 黎曼积分 的 测度论 引入，概率论才真正 长大。 之后，大家发现 社会科学、经济学、AI 中的 事情 往往 符合 统计规律 ，于是 统计学 得到了 长《繁：長》足 发展 和 应用。概率的思想，甚至将微积分推向一个新领域 随机微积分。

随着 数学结构的研究，数学家发现 很多 结构 和 它们 之间(jiān) 的映射 都是 相似，于是又将它们放在一起 称为 范畴 进行研究。随着 对 范畴 的研究，发[繁：發]现 它其实是一种 基于图的形式语言，并且发现 格论不能 定义 模态词 的问题 可以用 范畴中的 伴随 来解决。于是 大家 就在设想 是否 范畴 可 代替 集合与逻辑 成为 数学的基《jī》础，这件事目前还在研究中...

格罗滕迪克作为范畴的{读：de}发明人之一，将其用于 代数几何，创造了概形，并将代数几何推向了数学的巅（繁体：巔）峰。（这部分我目前还看不太懂，所有只能说这些(拼音：xiē)了）。

李发现实数即是 空间(繁体：間) 又是 代数系统（繁体：統），于是将 空间的推广—流形 和 代数系统—群 结合一起研究 这就是 李群。

对基本群的进一步研究，出现了 群(繁体：羣)表示论 和 复叠空间，对 同调群的 研究，出现了 同调论 和 交换[繁体：換]代数。

最后，还记得那个 最古老的算术 吗？克罗内克名言：“上帝创造了自然数，而澳门永利剩shèng 下的一切都是人创造的。”，数学家一直没有放弃对它的研究，并发展出了 数论，在这方面 数学 的 本质 就是 素数。

历史上，很多数学家都写过 类似 《...原（拼音：yuán）理》、《...原本》 这样的书，数学太过复杂了【pinyin：le】，目前还没有大统一的理论。

数学还在前行（读：xíng），还会有新的思想，新的原理 ...

（本人数学水平有《拼音：yǒu》限，出错难免，欢迎题主和各位老师批评指正！）

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