正（读：zhèng）交矩阵定义和性质

什么是正交矩阵？正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义就是这两个向量相互垂直

什么是正交矩阵？

正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。

行向量皆为正交的单位向量liàng ，任意两行正交就是两行点乘结【繁：結】果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。

对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个（繁体：個）3维向量正交的de 几何意义就是这两个向量相互垂{读：chuí}直。

所以《读：yǐ》3x3正交矩阵的三行可以理解(练：jiě)为一个3D坐标系里的三个坐标轴，下面是3＊3正交{读：jiāo}矩阵M，

x1，x2，x3，／／x轴y1，y2，y3，／／y轴z1，z2，z3，／／z轴

单位矩（繁：榘）阵表示的三个坐标轴就是笛卡尔坐标系里的x，y，z轴：

1，0，0，／／x轴（繁体：軸）0，1，0，／／y轴0，0，1，／／z轴

一个向量乘以3x3正交矩阵的几何意【拼音：yì】义就是把这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所表示的坐标系《繁体：係》里，比bǐ 如下面的矩阵M1，

0，1，0，1，0，0，0，0，1，

一个向量（1，2，3）右乘这个[繁：個]矩阵M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量从原坐【拼音：zuò】标系变换到一个新的坐（练：zuò）标系。

新坐【练：z澳门永利uò】标系的x轴在原坐标系里是（0，1，0），即落在原坐标系的y轴上，

新坐标系就是把原坐标系的x和y轴对调，所以这个正交矩阵[繁体：陣]M1作用于《繁体：於》向量（1，2，3）后把向量（练：liàng）的x和y分量对调了。

正交矩阵《繁体：陣》的定义“行向量和列向量（pinyin：liàng）皆为正（练：zhèng）交的单位向量”带来了另一个好处：正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆，比普通矩阵求逆矩阵简单多了。

下面解释一下为什么正交矩阵的转置就是正交矩阵zhèn 的逆：

还是开头说的正交{拼音：jiāo}矩阵M：

x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz

澳门永利每行都是（读：shì）单位长度向量，所以每行点乘自己的结果为1。

任意两[繁体：兩]行正交就是两行点乘结果为0。

矩阵M的转置矩阵MT是[读：shì]：

x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，

两个矩阵相乘(拼音：chéng)Mmul＝M＊MT：

rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，

开云体育点乘自己结果为1，点乘别的《de》行结果为0，所以Mmul等于单位矩阵

1，0，0，0，1，0，0，0，1，

逆矩阵的定义就是逆矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，所（pinyin：suǒ）以，

正交矩阵的转置就是正《读：zhèng》交矩阵的逆。

扩展{zhǎn}资料

正交(练：jiāo)矩阵定义：

如果：AA＇＝E（E为单位矩阵，A＇表示“矩阵A的转置矩阵”．）或A′A＝E，则n阶实[繁体：實]矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件：1）A是正交(拼音：jiāo)矩阵《繁体：陣》。

判断是正交矩阵的澳门新葡京de 方法：

一般就是用定义来验证，若AA#30" = I，则A为正交澳门新葡京矩阵，也就是验证每一行【练：xíng】#28或列#29向量的模是否为1

任意两行#28或列#29的内积是否【拼音：fǒu】为0。