正交矩阵定义《繁体：義》和性质

什么是正交矩阵？正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义就是这两个向量相互垂直

什么是正交矩阵？

正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。

行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。

对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交(读：jiāo)的（练：de）几何意义就是这两个向量相互垂直(练：zhí)。

所以3x3正交矩阵的三行可以理解为一个3D坐标系里的三sān 个{练：gè}坐标轴，下面是3＊3正[pinyin：zhèng]交矩阵M，

x1，x2，x3，／／x轴y1，y2，y3，／／y轴（繁体：軸）z1，z2，z3，／／z轴

单(繁体：單)位矩阵表示的三个坐标轴就是笛卡尔坐标系里的x，y，z轴：

1，0，0，／／x轴0，1，0，／／y轴(zhóu)0，0，1，／／z轴

一个向量乘以3x3正交矩阵的几何意义就是把这zhè 个向量从当前坐标系（繁体：係）变换到这个矩《繁：榘》阵所表示的坐标系里，比如下面的矩阵M1，

0，1，0，1，0，0，0，0，1，

一个向{练：xiàng}量（1，2，3）右乘这个矩阵M1得到新的向量（2，1，3），就{练：jiù}是把原向量从原坐标系变换到一个新的坐标（繁体：標）系。

新坐标系的x轴在原坐标系里是（0，1，0）皇冠体育，即落在原坐标(拼音：biāo)系的y轴上，

新坐标系就是把《拼音：bǎ》原坐[读：zuò]标系的x和y轴对(繁体：對)调，所以这个正交矩阵M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量对调了。

正《拼音：zhèng》交矩阵的定义“行向量和列向量皆[读：jiē]为正交的单位向量”带来了另一个好处：正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆，比普通矩阵求逆矩阵简单多了。

下面解释一下为什{练：shén}么正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆：

还是开头{练：tóu}说的正交矩阵M：

每行都是单澳门巴黎人位长度向量，所以(拼音：yǐ)每行点乘自己的结果为1。

任意两行正交就是两行点乘结果guǒ 为0。

矩阵《繁体：陣》M的转置矩阵MT是：

两个矩阵《繁：陣》相乘Mmul＝M＊MT：

点乘自己结果为1，点乘别的de 行结果为0，所以Mmul等于单位矩阵

1，0，0，0，1，0，0，0，1，

逆矩阵的定义就是逆矩阵乘以原矩阵等于单【pinyin：dān】位矩阵，所以，

正交矩阵的{练：de}转置就是正交矩阵的逆。

扩展资[繁：資]料

正交{练：jiāo}矩阵定义：

如果：AA＇＝E（E为单位矩阵，A＇表示“矩阵A的转置矩阵”．）或A′A＝E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位《练：wèi》正交阵，则满足以《读：yǐ》下条件：1）A是正交jiāo 矩阵。

判断是正交矩阵的方{练：fāng}法：

一般就[练：jiù]是用定义来验证，若AA#30" = I，则A为[繁体：爲]正交矩阵，也就是验证每一行#28或列#29向量的模是否为1

任意两行#28或列(拼音：liè)#29的内积是否为0。