正交矩阵定义和性质(繁体：質)

什么是正交矩阵？正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义就是这两个向量相互垂直

什么是正交矩阵？

正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。

行向量皆为正交的单位向量，任rèn 意两行正交就是两行点乘结果{pinyin：guǒ}为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为《繁：爲》1。

对{pinyin：duì}于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量（拼音：liàng），两个3维向量正交的几何意义就是这《繁：這》两个向量相互垂直。

所【suǒ】以3x3正交矩阵的三[练：sān]行可以理解为一个3D坐标系里的三个坐标轴，下面是3＊3正交矩阵M，

澳门新葡京x1，x2，x3，／／x轴[繁：軸]y1，y2，y3，／／y轴z1，z2，z3，／／z轴

单位矩阵表示的三个坐标轴就是笛卡（拼音：kǎ）尔坐标系里的x，y，z轴：

1，0，0，／／x轴《繁体：軸》0，1，0，／／y轴0，0，1，／／z轴

一个(繁：個)向量乘以3x3正交矩阵（繁：陣）的几何意义就[jiù]是把这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所表示的坐标系里，比如下面的矩阵M1，

0，1，0，1，0，0，0，0，1，

一个向量（1，2，3）右乘这个矩阵M1得到新xīn 的向量（2，1，3），就是把原向量从原坐标系变换到一个新的【拼音：de】坐标系。

新坐标系的x轴在原《拼音：yuán》坐标系里是（0，1，0），即落在原坐标系的y轴上，

新坐标系就是把原坐标系的x和y轴对调，所以这个[繁体：個]正交矩阵M1作用于向量（1，2，3）后把向《繁体：嚮》量的x和y分量对调了。

正交矩阵的定澳门巴黎人义“行向量和列向量皆为正交的单位向(繁体：嚮)量”带来了另一个好处：正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆，比普通矩阵求逆矩阵简单多了。

下面解释一下为什么正交矩阵的转置就是正{pinyin：zhèng}交矩阵的逆：

还是开头说的正交矩阵M：

x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz

每行都是单位长度向量，所以每[练：měi]行点乘自己的结果为1。

任意两行正交就[练：jiù]是两行点乘结果为0。

矩阵(繁体：陣)M的转置矩阵MT是：

两个皇冠体育矩阵相{xiāng}乘Mmul＝M＊MT：

rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，

点乘自己结果为1，点乘别的行结果为0，所【练：suǒ】以Mmul等于单位矩阵

1，0，0，0，1，0，0，0，1，

逆矩阵的定义就（读：jiù）是逆矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，所以，

正交矩阵的转置就是正交矩阵的（de）逆。

扩展{zhǎn}资料

正交矩阵(zhèn)定义：

如果：AA＇＝E（E为单位矩阵，A＇表示“矩阵A的转《繁体：轉》置矩阵”．）或A′A＝E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件：1）A是（shì）正交矩阵。

判断是《拼音：shì》正交矩阵的方法：

一般就是用定义来验证，若AA#30" = I，则A为正交矩阵，也就是（pinyin：shì）验证每一行#28或列#29向量的模【拼音：mó】是否(pinyin：fǒu)为1

任意两行#28或列#29开云体育的{练：de}内积是否为0。